Drehen Sie die Gelenke eines Roboterarms um einen bestimmten Betrag, und die Hand landet irgendwo. Legen Sie stattdessen fest, wo die Hand hin soll, dann müssen Sie herausfinden, wie groß jeder Winkel sein muss. Die erste Rechnung ist die Vorwärtskinematik, die zweite die inverse Kinematik. Zusammen sind sie der Weg zwischen zwei Beschreibungen desselben Arms — einem Satz Winkel oder einem Punkt im Raum — und fast alles Weitere über Arme baut darauf auf.
Diese Reihe verfolgt dieses Hin und Her an Diagrammen, die Sie ziehen können. Diese Seite behandelt einen ebenen Arm mit zwei Gliedern (einen ebenen 2R) in beide Richtungen und hängt dann ein drittes Glied an, damit sich auch die Orientierung der Hand festlegen lässt. Welche Form der Bereich hat, den ein Arm erreicht, und an welchen Stellen seine Stellung zusammenbricht, ist das Thema von Teil 2: Arbeitsraum, Singularitäten und echte Roboter.
Alle Abbildungen unten sind vereinfachte Modelle, gebaut, um einen Mechanismus zu zeigen. Keine bildet den Roboter eines bestimmten Herstellers nach, und keine enthält Reibung, Trägheit, die Gelenkgrenzen einer echten Maschine oder Messrauschen. Der Abschnitt „In der Abbildung auf dieser Seite“ nennt jeweils, was die betreffende Abbildung leistet und was nicht.
Vorwärtskinematik (Abbildung 1)
Wie die Kinematik funktioniert
Stehen die Winkel θ₁ und θ₂ fest, dann steht auch die Position der Spitze (x, y) fest. Das erste Glied verlässt die Basis in Richtung θ₁ mit der Länge L₁. Das zweite knickt im Ellbogen um weitere θ₂ ab, zeigt also in Richtung θ₁+θ₂, und läuft über die Länge L₂. Addieren Sie diese beiden Vektoren, und Sie haben die Spitze.
Entscheidend ist hier, dass es genau eine Antwort gibt. Geben Sie dem Arm seine Winkel, und die Hand geht an eine einzige Stelle, ohne dass unterwegs etwas zu entscheiden wäre. Diese Gutmütigkeit gehört allein der Vorwärtsrichtung, wie der nächste Abschnitt zeigt.
In der Abbildung auf dieser Seite
Der Arm steht links, die Arbeitsebene als Raster rechts. Der grüne Pfeil zeigt vom Arm zum Raster: Die Winkel sind die Ursache, die Position der Spitze die Wirkung. Die blauen Punkte auf beiden Seiten und die Zahlen darunter zeigen alle denselben Zustand (θ₁, θ₂, x, y), sodass ein Zug am Ellbogen oder an der Spitze alle drei zugleich bewegt.
| Aufbau | L₁=L₂=1, Basis im Ursprung. Der gestrichelte Kreis ist die maximale Reichweite, L₁+L₂=2. Einen inneren Kreis gibt es hier nicht, weil |L₁−L₂|=0 ist. |
|---|---|
| Farben | Grau ist die Basis, bernsteinfarben der Ellbogen, blau die Spitze. Die hellblaue Linie ist der von der Spitze zurückgelegte Weg, nur bei eingeschalteter Spur sichtbar; sie startet aus. |
| Ablesen links | Bögen und Zahlen sind θ₁, gemessen von der +x-Achse zum ersten Glied, und θ₂, der Knick im Ellbogen. |
| Ablesen rechts | Die von der Spitze gefällten Lote, mit x= und y= auf den Achsen markiert. |
| Bedienung | Ziehen Sie am Ellbogen oder an der Spitze; ein ziehbarer Punkt wird beim Überfahren etwas breiter. Spur schaltet den Weg ein und aus. |
| Nicht enthalten | Reibung, Trägheit, die Gelenkgrenzen einer echten Maschine und Messrauschen. |
Inverse Kinematik (Abbildung 2)
Wie die Kinematik funktioniert
Jetzt kommt die Position (x, y) zuerst, und die Winkel müssen daraus erschlossen werden. Nehmen Sie das Dreieck mit den Ecken Basis, Ellbogen und Spitze. Seine drei Seiten sind bekannt — L₁, L₂ und der Abstand von der Basis zum Ziel — also liefert der Kosinussatz den Ellbogenknick θ₂. Mit θ₂ in der Hand folgt θ₁, indem man die Richtung zum Ziel nimmt und den Anteil abzieht, der auf den Ellbogen entfällt.
Das ± vor dem Arkuskosinus fasst den ganzen Charakter der inversen Kinematik in einem Zeichen zusammen. Im Allgemeinen bringen zwei Stellungen die Spitze an dieselbe Stelle, eine mit gehobenem und eine mit gesenktem Ellbogen, und beide taugen. Wo die Vorwärtsrichtung nichts zu wählen hatte, kommt die inverse stets mit einer eingebauten Wahl — und an einer echten Maschine, entlang einer Bahn, fangen genau dort die Schwierigkeiten an.
In der Abbildung auf dieser Seite
Die Anordnung entspricht Abbildung 1, aber der grüne Pfeil läuft jetzt andersherum, vom Raster zum Arm. Bewegen Sie die Spitze und sehen Sie zu, wie θ₁ und θ₂ neu berechnet werden, um ihr zu folgen. Die Schaltflächen Ellbogen oben und Ellbogen unten wechseln zwischen den beiden Stellungen und lassen die Spitze genau dort, wo sie ist.
| Aufbau | Dieselben L₁=L₂=1 wie in Abbildung 1. Die Spitze kann den Reichweitenkreis nicht verlassen; ziehen Sie darüber hinaus, holt die Abbildung sie an den Rand zurück. |
|---|---|
| Die beiden Lösungen | Ellbogen oben und Ellbogen unten sind die zwei Stellungen, die dasselbe (x, y) erreichen. |
| Bedienung | Vor allem Ziehen an der Spitze, auch wenn sich der Ellbogen mitbewegt. Spur schaltet den Weg ein und aus; sie startet aus. |
| Nicht enthalten | Bahnplanung, Geschwindigkeitsgrenzen und das Kleingedruckte in der Nähe einer Singularität — darum kümmert sich Teil 2. |
Ein drittes Glied hinzufügen (Abbildung 3)
Wie die Kinematik funktioniert
Bleiben wir in der Ebene und hängen ein Glied an, entsteht ein 3R-Arm, dem man nicht nur sagen kann, wohin die Spitze soll, sondern auch, wohin sie zeigen soll. In einer Ebene ist diese Orientierung schlicht die Summe der Winkel, φ = θ₁+θ₂+θ₃. Ein Werkstück in einem bestimmten Winkel abzulegen oder ein Werkzeug senkrecht auf einer Fläche zu halten, ist genau eine solche Forderung.
Das inverse Problem zu lösen heißt nicht, alle drei Winkel auf einmal anzugehen. Es zerfällt in drei Schritte:
- Bestimmen Sie mit φ das Handgelenk. Gehen Sie von der Spitze aus entgegen φ um die Länge des dritten Glieds L₃ zurück, dort liegt das Handgelenk.
- Lösen Sie dieses Handgelenk (xw, yw) als 2R-Problem auf den Gliedern 1 und 2 — dort taucht das Paar Ellbogen oben und Ellbogen unten wieder auf.
- Füllen Sie den Rest mit θ₃ = φ − θ₁ − θ₂ auf.
Anders gesagt: Die Orientierung festzulegen legt das Handgelenk fest, und vom Handgelenk nach innen sind wir wieder bei Abbildung 2. Erst das Handgelenk abzutrennen und den Rest danach zu lösen, ist eine Gewohnheit, die sich auf Arme im dreidimensionalen Raum überträgt.
In der Abbildung auf dieser Seite
Dies ist der kleinste 3R, den zu zeichnen sich lohnt. Der blaue Stab an der Spitze ist der Orientierungsgriff; ihn zu drehen ändert φ. Das Ziehen an der Spitze löst nur die Position und hält φ, wo es war. Lesen Sie das als die 2R-Szene mit einer Größe mehr, die anzugeben ist.
| Aufbau | L₁=L₂=L₃=2/3, sodass die maximale Reichweite weiterhin 2 beträgt. φ = θ₁+θ₂+θ₃. |
|---|---|
| Farben | Grau ist die Basis, gelbliches Bernstein das erste Gelenk, rötliches das zweite, blau die Spitze. Der blaue Stab an der Spitze ist der Orientierungsgriff. |
| Ablesen rechts | Lote von der Spitze mit x= und y=. Der Punkt am Ende des Orientierungsgriffs setzt zugleich φ. |
| Bedienung | Der Griff setzt φ. Ziehen an der Spitze löst die Position bei festem φ. Das zweite Gelenk gleitet frei in der Ebene, das erste folgt ihm. |
| Nicht enthalten | Die stimmige Wahl zwischen redundanten Lösungen während der Bewegung und Stellungen wie das Rollen eines sechsachsigen Handgelenks. |
Wo sechsachsige Industriearme ins Spiel kommen
Wie die Kinematik funktioniert
Der ebene 2R oben ist die Zuordnung zwischen einer Position (x, y) und einem Winkelpaar (θ₁, θ₂); der ebene 3R ist das Wenigste, was eine Orientierung φ obendrauf legt. Ein sechsachsiger Industriearm hat grob drei Freiheitsgrade für die Position und drei für die Orientierung, und mit ihnen kommen Fragen, die der ebene Fall nie stellt: ob es überhaupt eine geschlossene Lösung gibt oder die Antwort numerisch gesucht werden muss, und welche der mehreren gültigen Lösungen zu nehmen ist.
Die Leseweise dagegen ändert sich nicht. Vorwärts geht es von den Winkeln zur Hand, invers von der Hand zu den Winkeln, und was wächst, ist die Zahl der Freiheitsgrade und die Zahl der Zweige. Der Griff aus Abbildung 3 — bis zum Handgelenk zurückgehen und den Rest als 2R lösen — ist ein Muster, das im Dreidimensionalen immer wieder auftaucht.
In dieser Reihe
Eine interaktive Abbildung mit sechs Achsen gibt es hier nicht. Sowohl die Rechnung als auch der Satz an Bedienelementen, den sie bräuchte, gehören in eine andere Größenordnung als ebene Diagramme. Was sich überträgt, ist das Gefühl für 2R und 3R, und Teil 2 setzt es an drei Fragen ein:
- Der Arbeitsraum — welche Form die erreichbaren und die unerreichbaren Bereiche tatsächlich haben
- Die Singularitäten — die Grenzen, etwa ein voll gestreckter Arm, an denen die beiden Lösungen zusammenfallen und zusammenbrechen
- Der Preis einer Orientierung — Punkte, die der Arm mühelos erreicht, aber nicht mehr, sobald Sie zusätzlich sagen, wohin er zeigen soll
Zusammenfassung
Die Vorwärtskinematik, von den Winkeln zur Hand, ist eine Vektoraddition mit genau einer Antwort. Die inverse Kinematik, den Weg zurück, löst man mit dem Kosinussatz und atan2, doch sie reicht Ihnen zwei gültige Stellungen zugleich: Ellbogen oben und Ellbogen unten. Eine Richtung ist gutmütig, die andere verzweigt sich — und diese Asymmetrie zeigt sich schon am kleinsten Arm, den zu zeichnen sich lohnt.
Ein drittes Glied kauft die Möglichkeit, neben der Position auch die Orientierung festzulegen, und das inverse Problem bekommt eine Struktur: bis zum Handgelenk zurückgehen, den 2R lösen, den Rest auffüllen. Diese eine zusätzliche Größe genügt, um aus einer Formel ein Verfahren zu machen, und das ist es, was man bemerken sollte, bevor man zu Armen mit mehr Achsen weitergeht.
Teil 2: Arbeitsraum, Singularitäten und echte Roboter nimmt denselben ebenen Arm und fragt, wie weit er überhaupt reicht, wo seine zwei Lösungen zu einer verschmelzen und was eine geforderte Orientierung kostet.
Häufige Fragen
F1. Hat die inverse Kinematik immer zwei Lösungen?
A. Bei einem ebenen 2R in aller Regel ja, mit zwei Ausnahmen. Wo der Arm voll gestreckt ist — am Rand des Reichweitenkreises — wird θ₂ zu 0, Ellbogen oben und Ellbogen unten sind dieselbe Stellung, und die beiden verschmelzen zu einer. Am anderen Ende gilt: Sind L₁ und L₂ ungleich und zielen Sie ganz nah an die Basis, fällt der Punkt in das Loch, das der Arm nicht erreicht, und es gibt gar keine Lösung. Diese Grenzen, an denen sich die Zahl der Lösungen ändert, sind das Thema von Teil 2.
F2. Warum nimmt man atan2, um θ₁ zu finden?
A. Der gewöhnliche Arkustangens bekommt nur das Verhältnis y/x, unterscheidet also (x, y) nicht von (−x, −y), und seine Antwort kann eine halbe Umdrehung danebenliegen. atan2 bekommt x und y getrennt und liest den Quadranten aus der Vorzeichenkombination. Ein Arm zeigt in alle Richtungen, diese Unterscheidung muss also erhalten bleiben.
F3. Was passiert, wenn ich die Spitze aus dem Reichweitenkreis ziehe?
A. Sie wird an den Rand zurückgeschoben. Statt einen unerreichbaren Befehl als Fehler zu behandeln und stehenzubleiben, runden diese Abbildungen ihn auf den nächstgelegenen erreichbaren Punkt. An echter Hardware ist das eine Entwurfsentscheidung: Manche Steuerungen machen genau das, andere weisen den Befehl schlicht zurück.
F4. Warum ändert das Bewegen der Spitze in der 3R-Abbildung ihre Orientierung nicht?
A. Weil das Ziehen an der Spitze als inverses Problem allein für die Position gelöst wird, bei festem φ. Um die Orientierung zu ändern, nehmen Sie den blauen Griff an der Spitze. Position und Orientierung getrennt vorgeben zu können, ist genau das, was das dritte Glied gekauft hat.
F5. Bewegen sich diese Abbildungen wie ein echter Industrieroboter?
A. Nein. Es sind vereinfachte Modelle, die die kinematische Zuordnung freilegen, ohne Reibung, Trägheit, echte Gelenkgrenzen oder Messrauschen. Eine echte Maschine hat an jedem Gelenk einen begrenzten Weg, sodass eine Stellung, die die Rechnung zulässt, trotzdem unerreichbar sein kann. Der Abschnitt „In der Abbildung auf dieser Seite“ nennt jeweils, was die Abbildung nicht rechnet.
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