Gira las articulaciones de un brazo robótico una cierta cantidad y la mano acaba en algún sitio. Decide en cambio dónde quieres la mano, y tendrás que averiguar cuánto debe valer cada ángulo. El primer cálculo es la cinemática directa; el segundo, la cinemática inversa. Juntos son la forma de moverse entre dos maneras de describir el mismo brazo — como un conjunto de ángulos o como un punto en el espacio — y casi todo lo demás sobre brazos se construye encima.
Esta serie sigue ese ir y venir con diagramas que puedes arrastrar. Esta página trata un brazo plano de dos eslabones (un 2R plano) en ambos sentidos, y después añade un tercer eslabón para poder fijar también la orientación de la mano. La forma de la región que un brazo alcanza, y los lugares donde su postura se desmorona, son el tema de la parte 2: espacio de trabajo, singularidades y robots reales.
Todas las figuras de abajo son modelos simplificados hechos para mostrar un mecanismo. Ninguna reproduce el robot de un fabricante concreto, y ninguna incluye rozamiento, inercia, los límites articulares de una máquina real ni ruido de medida. El apartado «En la figura de esta página» de cada sección detalla qué hace y qué no hace esa figura en particular.
Cinemática directa (figura 1)
Cómo funciona la cinemática
Una vez fijados los ángulos θ₁ y θ₂, la posición del extremo (x, y) queda fijada también. El primer eslabón sale de la base en la dirección θ₁ con una longitud L₁. El segundo se dobla θ₂ más en el codo, así que apunta según θ₁+θ₂, y recorre una longitud L₂. Suma esos dos vectores y tienes el extremo.
Lo importante aquí es que hay exactamente una respuesta. Dale al brazo sus ángulos y la mano va a un único sitio, sin nada que decidir por el camino. Esa docilidad pertenece solo al sentido directo, como muestra la sección siguiente.
En la figura de esta página
El brazo está a la izquierda y el plano de trabajo, dibujado como una cuadrícula, a la derecha. La flecha verde apunta del brazo a la cuadrícula: los ángulos son la causa y la posición del extremo, el efecto. Los puntos azules de ambos lados y los números de debajo muestran todos el mismo estado (θ₁, θ₂, x, y), así que arrastrar el codo o el extremo mueve los tres a la vez.
| Configuración | L₁=L₂=1, base en el origen. El círculo discontinuo es el alcance máximo, L₁+L₂=2. Aquí no hay círculo interior porque |L₁−L₂|=0. |
|---|---|
| Colores | Gris es la base, ámbar el codo, azul el extremo. La línea azul pálido es el camino recorrido por el extremo, visible solo con Traza activada; empieza apagada. |
| Lectura a la izquierda | Los arcos y las cifras son θ₁, medido desde el eje +x hasta el primer eslabón, y θ₂, el doblez del codo. |
| Lectura a la derecha | Las perpendiculares bajadas desde el extremo, con x= e y= marcados sobre los ejes. |
| Controles | Arrastra el codo o el extremo; un punto arrastrable se ensancha un poco al pasar por encima. Traza activa y desactiva el camino. |
| Lo que no incluye | Rozamiento, inercia, los límites articulares de una máquina real y el ruido de medida. |
Cinemática inversa (figura 2)
Cómo funciona la cinemática
Ahora la posición (x, y) va primero y hay que deducir los ángulos a partir de ella. Toma el triángulo cuyos vértices son la base, el codo y el extremo. Se conocen sus tres lados — L₁, L₂ y la distancia de la base al objetivo — así que el teorema del coseno da el doblez del codo, θ₂. Con θ₂ en la mano, θ₁ sale tomando el rumbo del objetivo y restando la parte que aporta el codo.
El ± delante del arcocoseno resume en un símbolo todo el carácter de la cinemática inversa. En general hay dos posturas que colocan el extremo en el mismo sitio, una con el codo levantado y otra con el codo caído, y cualquiera de las dos sirve. Donde el sentido directo no tenía nada que elegir, el inverso trae siempre una elección incorporada — y en una máquina real, siguiendo una trayectoria, ahí empieza la dificultad.
En la figura de esta página
La disposición coincide con la figura 1, pero la flecha verde va ahora al revés, de la cuadrícula al brazo. Mueve el extremo y observa cómo se recalculan θ₁ y θ₂ para seguirlo. Los botones Codo arriba y Codo abajo cambian entre las dos posturas dejando el extremo exactamente donde está.
| Configuración | Los mismos L₁=L₂=1 de la figura 1. El extremo no puede salir del círculo de alcance; si arrastras más allá, la figura lo devuelve al borde. |
|---|---|
| Las dos soluciones | Codo arriba y Codo abajo son las dos posturas que alcanzan el mismo (x, y). |
| Controles | Sobre todo arrastrar el extremo, aunque el codo también se mueve. Traza activa y desactiva el camino; empieza apagada. |
| Lo que no incluye | Planificación de trayectorias, límites de velocidad y el detalle de lo que ocurre cerca de una singularidad — de eso se ocupa la parte 2. |
Añadir un tercer eslabón (figura 3)
Cómo funciona la cinemática
Quedándonos en el plano y añadiendo un eslabón más obtenemos un brazo 3R, al que se le puede indicar no solo dónde poner el extremo, sino también hacia dónde mirar. En un plano esa orientación es simplemente la suma de los ángulos, φ = θ₁+θ₂+θ₃. Depositar una pieza con un ángulo determinado, o mantener una herramienta perpendicular a una superficie, es exactamente una exigencia de este tipo.
Resolver el problema inverso no significa atacar los tres ángulos a la vez. Se divide en tres pasos:
- Usa φ para localizar la muñeca. Retrocede desde el extremo, en sentido contrario a φ, la longitud del tercer eslabón L₃, y ahí está la muñeca.
- Resuelve esa muñeca (xw, yw) como un problema 2R en los eslabones 1 y 2 — que es donde reaparece la pareja codo arriba y codo abajo.
- Rellena lo que queda con θ₃ = φ − θ₁ − θ₂.
Dicho de otro modo: fijar la orientación es lo que fija la muñeca, y de la muñeca hacia dentro estamos otra vez en la figura 2. Separar primero la muñeca y resolver el resto después es una costumbre que se traslada a los brazos que trabajan en tres dimensiones.
En la figura de esta página
Este es el 3R más pequeño que merece dibujarse. La barra azul que sale del extremo es la manija de orientación, y girarla cambia φ. Arrastrar el extremo resuelve solo la posición, manteniendo φ donde estaba. Léelo como la escena del 2R con una magnitud más que especificar.
| Configuración | L₁=L₂=L₃=2/3, de modo que el alcance máximo sigue siendo 2. φ = θ₁+θ₂+θ₃. |
|---|---|
| Colores | Gris es la base, ámbar amarillento la primera articulación, ámbar rojizo la segunda, azul el extremo. La barra azul que sale del extremo es la manija de orientación. |
| Lectura a la derecha | Perpendiculares desde el extremo con x= e y=. El punto del final de la manija de orientación también fija φ. |
| Controles | La manija fija φ. Arrastrar el extremo resuelve la posición manteniendo φ. La segunda articulación se desliza libremente por el plano y la primera la acompaña. |
| Lo que no incluye | Elegir de forma coherente entre soluciones redundantes mientras el brazo se mueve, ni posturas como el giro de una muñeca de seis ejes. |
Dónde entran los brazos industriales de seis ejes
Cómo funciona la cinemática
El 2R plano de arriba es la correspondencia entre una posición (x, y) y un par de ángulos (θ₁, θ₂); el 3R plano es lo mínimo que añade una orientación φ encima. Un brazo industrial de seis ejes tiene aproximadamente tres grados de libertad de posición y tres de orientación, y con ellos llegan preguntas que el caso plano nunca plantea: si existe siquiera una solución cerrada o hay que buscar la respuesta numéricamente, y cuál de las varias soluciones válidas tomar.
La forma de leerlo, en cambio, no cambia. El sentido directo va de los ángulos a la mano; el inverso, de la mano a los ángulos, y lo que crece es el número de grados de libertad y el número de ramas. El movimiento de la figura 3 — retroceder hasta la muñeca y resolver el resto como un 2R — es un patrón que reaparece una y otra vez en tres dimensiones.
En esta serie
Aquí no hay una figura interactiva de seis ejes. Tanto la aritmética como el conjunto de controles que necesitaría pertenecen a otra escala que los diagramas planos. Lo que sí se traslada es la intuición sobre el 2R y el 3R, y la parte 2 la pone a trabajar en tres preguntas:
- El espacio de trabajo — qué forma tienen realmente las regiones alcanzables y las que no lo son
- Las singularidades — las fronteras, como un brazo completamente estirado, donde las dos soluciones se juntan y se desmoronan
- El precio de una orientación — puntos que el brazo alcanza sin problema pero deja de alcanzar en cuanto dices además hacia dónde mirar
Resumen
La cinemática directa, que va de los ángulos a la mano, es una suma de vectores con una única respuesta. La cinemática inversa, que vuelve en sentido contrario, se resuelve con el teorema del coseno y atan2, pero te entrega dos posturas válidas a la vez: codo arriba y codo abajo. Un sentido es dócil, el otro se ramifica; y esa asimetría ya se ve en el brazo más pequeño que merece dibujarse.
Añadir un tercer eslabón compra la capacidad de fijar la orientación además de la posición, y el problema inverso gana una estructura: retroceder hasta la muñeca, resolver el 2R, rellenar el resto. Esa única magnitud extra basta para convertir una fórmula en un procedimiento, y eso es lo que conviene notar antes de pasar a brazos con más ejes.
La parte 2: espacio de trabajo, singularidades y robots reales toma el mismo brazo plano y pregunta hasta dónde llega en primer lugar, dónde sus dos soluciones se funden en una y cuánto cuesta imponer una orientación.
Preguntas frecuentes
Q1. ¿La cinemática inversa tiene siempre dos soluciones?
A. En un 2R plano, por lo general sí, con dos excepciones. Donde el brazo queda completamente estirado — sobre el borde del círculo de alcance — θ₂ se hace 0, codo arriba y codo abajo son la misma postura y las dos se funden en una. En el otro extremo, si L₁ y L₂ son distintos y apuntas muy cerca de la base, el punto cae en el hueco que el brazo no alcanza y no hay ninguna solución. Esas fronteras, donde cambia el número de soluciones, son el tema de la parte 2.
Q2. ¿Por qué se usa atan2 para hallar θ₁?
A. El arcotangente corriente solo recibe el cociente y/x, así que no distingue (x, y) de (−x, −y) y su respuesta puede salir media vuelta desviada. atan2 recibe x e y por separado y deduce el cuadrante de la combinación de signos. Un brazo apunta en todas las direcciones, de modo que esa distinción hay que conservarla.
Q3. ¿Qué pasa si arrastro el extremo fuera del círculo de alcance?
A. Vuelve empujado al borde. En vez de tratar una orden inalcanzable como un error y detenerse, estas figuras la redondean al punto alcanzable más cercano. En un equipo real eso es una decisión de diseño: algunos controladores hacen exactamente esto y otros rechazan la orden sin más.
Q4. En la figura 3R, ¿por qué mover el extremo no cambia su orientación?
A. Porque arrastrar el extremo se resuelve como un problema inverso solo de posición, con φ fija. Para cambiar la orientación, usa la manija azul que sale del extremo. Poder mandar posición y orientación por separado es justamente lo que compró el tercer eslabón.
Q5. ¿Estas figuras se mueven como un robot industrial real?
A. No. Son modelos simplificados que aíslan la correspondencia cinemática, sin rozamiento, inercia, límites articulares reales ni ruido de medida. Una máquina real tiene un recorrido limitado en cada articulación, así que una postura que la aritmética acepta puede seguir siendo inalcanzable. El apartado «En la figura de esta página» de cada sección dice qué no está calculando esa figura.
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