Faites tourner les articulations d’un bras robotique d’une certaine quantité et la main finit quelque part. Décidez plutôt où vous voulez la main, et il faut trouver combien doit valoir chaque angle. Le premier calcul est la cinématique directe, le second la cinématique inverse. Ensemble, ils permettent de passer d’une description du même bras à l’autre — un jeu d’angles, ou un point dans l’espace — et presque tout le reste sur les bras se construit là-dessus.
Cette série suit ces allers-retours sur des diagrammes que vous pouvez manipuler. Cette page traite un bras plan à deux segments (un 2R plan) dans les deux sens, puis ajoute un troisième segment pour pouvoir fixer aussi l’orientation de la main. La forme de la région qu’un bras atteint, et les endroits où sa posture s’effondre, font l’objet de la partie 2 : espace de travail, singularités et robots réels.
Toutes les figures ci-dessous sont des modèles simplifiés faits pour montrer un mécanisme. Aucune ne reproduit le robot d’un constructeur en particulier, et aucune n’inclut le frottement, l’inertie, les butées articulaires d’une machine réelle ou le bruit de mesure. La rubrique « Dans la figure de cette page » de chaque section précise ce que cette figure fait et ne fait pas.
Cinématique directe (figure 1)
Comment fonctionne la cinématique
Une fois les angles θ₁ et θ₂ fixés, la position de l’extrémité (x, y) l’est aussi. Le premier segment part de la base dans la direction θ₁ sur une longueur L₁. Le second est plié de θ₂ de plus au coude, il pointe donc selon θ₁+θ₂, et court sur une longueur L₂. Additionnez ces deux vecteurs et vous avez l’extrémité.
Ce qui compte ici, c’est qu’il y a exactement une réponse. Donnez ses angles au bras et la main va à un seul endroit, sans rien à décider en chemin. Cette docilité n’appartient qu’au sens direct, comme le montre la section suivante.
Dans la figure de cette page
Le bras est à gauche et le plan de travail, dessiné en quadrillage, à droite. La flèche verte va du bras au quadrillage : les angles sont la cause et la position de l’extrémité l’effet. Les points bleus des deux côtés et les nombres en dessous montrent tous le même état (θ₁, θ₂, x, y), si bien que faire glisser le coude ou l’extrémité déplace les trois à la fois.
| Configuration | L₁=L₂=1, base à l’origine. Le cercle en pointillés est la portée maximale, L₁+L₂=2. Il n’y a pas de cercle intérieur ici, car |L₁−L₂|=0. |
|---|---|
| Couleurs | Gris pour la base, ambre pour le coude, bleu pour l’extrémité. La ligne bleu pâle est le chemin parcouru par l’extrémité, visible seulement quand Trace est activée ; elle démarre éteinte. |
| Lecture à gauche | Les arcs et les valeurs sont θ₁, mesuré de l’axe +x au premier segment, et θ₂, la flexion au coude. |
| Lecture à droite | Les perpendiculaires abaissées depuis l’extrémité, avec x= et y= marqués sur les axes. |
| Commandes | Faites glisser le coude ou l’extrémité ; un point manipulable s’élargit légèrement au survol. Trace active et désactive le chemin. |
| Ce qui est omis | Le frottement, l’inertie, les butées articulaires d’une machine réelle et le bruit de mesure. |
Cinématique inverse (figure 2)
Comment fonctionne la cinématique
Cette fois la position (x, y) vient d’abord et il faut en déduire les angles. Prenez le triangle dont les sommets sont la base, le coude et l’extrémité. Ses trois côtés sont connus — L₁, L₂ et la distance de la base à la cible — donc la loi des cosinus donne la flexion du coude, θ₂. Avec θ₂ en main, θ₁ suit en prenant l’azimut de la cible et en retranchant la part qui revient au coude.
Le ± devant l’arccosinus résume en un symbole tout le caractère de la cinématique inverse. En général, deux postures placent l’extrémité au même endroit, l’une coude levé et l’autre coude baissé, et les deux conviennent. Là où le sens direct n’avait rien à choisir, le sens inverse arrive toujours avec un choix attaché — et sur une machine réelle, en suivant une trajectoire, c’est là que les ennuis commencent.
Dans la figure de cette page
La disposition est celle de la figure 1, mais la flèche verte va maintenant dans l’autre sens, du quadrillage au bras. Déplacez l’extrémité et regardez θ₁ et θ₂ se recalculer pour la suivre. Les boutons Coude haut et Coude bas basculent entre les deux postures en laissant l’extrémité exactement où elle est.
| Configuration | Les mêmes L₁=L₂=1 qu’à la figure 1. L’extrémité ne peut pas sortir du cercle de portée : si vous tirez au-delà, la figure la ramène sur le bord. |
|---|---|
| Les deux solutions | Coude haut et Coude bas sont les deux postures qui atteignent le même (x, y). |
| Commandes | Surtout faire glisser l’extrémité, même si le coude bouge aussi. Trace active et désactive le chemin ; elle démarre éteinte. |
| Ce qui est omis | La planification de trajectoire, les limites de vitesse et le détail de ce qui se passe près d’une singularité — la partie 2 s’en charge. |
Ajouter un troisième segment (figure 3)
Comment fonctionne la cinématique
En restant dans le plan et en ajoutant un segment, on obtient un bras 3R, auquel on peut indiquer non seulement où mettre l’extrémité mais aussi dans quelle direction la tourner. Dans un plan, cette orientation est simplement la somme des angles, φ = θ₁+θ₂+θ₃. Poser une pièce sous un angle donné, ou tenir un outil perpendiculaire à une surface, est exactement une exigence de ce type.
Résoudre le problème inverse ne veut pas dire attaquer les trois angles d’un coup. Cela se découpe en trois étapes :
- Utilisez φ pour situer le poignet. Reculez depuis l’extrémité, à l’opposé de φ, de la longueur du troisième segment L₃, et vous y êtes.
- Résolvez ce poignet (xw, yw) comme un problème 2R sur les segments 1 et 2 — c’est là que la paire coude haut et coude bas réapparaît.
- Complétez ce qui reste avec θ₃ = φ − θ₁ − θ₂.
Autrement dit, fixer l’orientation, c’est fixer le poignet, et du poignet vers l’intérieur on est de retour à la figure 2. Détacher d’abord le poignet et résoudre le reste ensuite est une habitude qui se transporte aux bras travaillant en trois dimensions.
Dans la figure de cette page
Voici le plus petit 3R qui mérite d’être dessiné. La barre bleue qui sort de l’extrémité est la poignée d’orientation : la tourner change φ. Faire glisser l’extrémité elle-même ne résout que la position, en gardant φ où il était. Lisez cela comme la scène du 2R avec une grandeur de plus à préciser.
| Configuration | L₁=L₂=L₃=2/3, si bien que la portée maximale reste 2. φ = θ₁+θ₂+θ₃. |
|---|---|
| Couleurs | Gris pour la base, ambre jaune pour la première articulation, ambre rouge pour la deuxième, bleu pour l’extrémité. La barre bleue qui en sort est la poignée d’orientation. |
| Lecture à droite | Les perpendiculaires depuis l’extrémité avec x= et y=. Le point au bout de la poignée d’orientation règle également φ. |
| Commandes | La poignée fixe φ. Faire glisser l’extrémité résout la position à φ constant. La deuxième articulation coulisse librement dans le plan et la première la suit. |
| Ce qui est omis | Choisir de façon cohérente parmi des solutions redondantes pendant le mouvement, et les postures telles que le roulis d’un poignet à six axes. |
Où interviennent les bras industriels à six axes
Comment fonctionne la cinématique
Le 2R plan ci-dessus est la correspondance entre une position (x, y) et un couple d’angles (θ₁, θ₂) ; le 3R plan est le minimum qui ajoute une orientation φ par-dessus. Un bras industriel à six axes possède à peu près trois degrés de liberté en position et trois en orientation, et avec eux viennent des questions que le cas plan ne pose jamais : savoir s’il existe seulement une solution analytique ou s’il faut chercher numériquement, et laquelle des solutions valides retenir.
La manière de lire, elle, ne change pas. Le sens direct va des angles à la main, le sens inverse de la main aux angles, et ce qui croît, c’est le nombre de degrés de liberté et le nombre de branches. Le geste de la figure 3 — reculer jusqu’au poignet, puis résoudre le reste comme un 2R — est un motif qui revient sans cesse en trois dimensions.
Dans cette série
Il n’y a pas ici de figure interactive à six axes. Le calcul comme le jeu de commandes qu’elle demanderait relèvent d’une autre échelle que les diagrammes plans. Ce qui se transporte, c’est l’intuition du 2R et du 3R, et la partie 2 la met au travail sur trois questions :
- L’espace de travail — quelle forme prennent réellement les régions atteignables et celles qui ne le sont pas
- Les singularités — les frontières, comme un bras complètement tendu, où les deux solutions se rejoignent et s’effondrent
- Le prix d’une orientation — des points que le bras atteint sans peine mais qu’il n’atteint plus dès que vous dites aussi dans quelle direction tourner
Résumé
La cinématique directe, qui va des angles à la main, est une addition de vecteurs à réponse unique. La cinématique inverse, qui fait le chemin retour, se résout avec la loi des cosinus et atan2, mais elle vous tend deux postures valides à la fois : coude haut et coude bas. Un sens est docile, l’autre bifurque ; et cette asymétrie est déjà visible sur le plus petit bras qui mérite d’être dessiné.
Ajouter un troisième segment achète la possibilité de fixer l’orientation en plus de la position, et le problème inverse gagne une structure : reculer jusqu’au poignet, résoudre le 2R, compléter le reste. Cette seule grandeur supplémentaire suffit à transformer une formule en procédure, et c’est ce qu’il faut remarquer avant de passer aux bras à plus d’axes.
La partie 2 : espace de travail, singularités et robots réels reprend le même bras plan et demande jusqu’où il peut atteindre, où ses deux solutions se confondent, et ce que coûte une orientation imposée.
Questions fréquentes
Q1. La cinématique inverse a-t-elle toujours deux solutions ?
R. Pour un 2R plan, en général oui, à deux exceptions près. Là où le bras est complètement tendu — sur le bord du cercle de portée — θ₂ devient 0, coude haut et coude bas sont la même posture, et les deux se confondent en une. À l’autre extrême, si L₁ et L₂ sont inégaux et que vous visez tout près de la base, le point tombe dans le trou que le bras n’atteint pas et il n’y a aucune solution. Ces frontières, où le nombre de solutions change, sont le sujet de la partie 2.
Q2. Pourquoi utiliser atan2 pour trouver θ₁ ?
R. L’arctangente ordinaire ne reçoit que le rapport y/x : elle ne distingue pas (x, y) de (−x, −y) et sa réponse peut tomber à un demi-tour près. atan2 reçoit x et y séparément et lit le quadrant dans la combinaison des signes. Un bras pointe dans toutes les directions, cette distinction doit donc être conservée.
Q3. Que se passe-t-il si je tire l’extrémité hors du cercle de portée ?
R. Elle est ramenée sur le bord. Plutôt que de traiter une commande inatteignable comme une erreur et de s’arrêter, ces figures l’arrondissent au point atteignable le plus proche. Sur du matériel réel, c’est une décision de conception : certains contrôleurs font exactement cela, d’autres rejettent la commande.
Q4. Dans la figure 3R, pourquoi déplacer l’extrémité ne change-t-il pas son orientation ?
R. Parce que faire glisser l’extrémité est résolu comme un problème inverse en position seule, à φ constant. Pour changer l’orientation, utilisez plutôt la poignée bleue qui sort de l’extrémité. Pouvoir commander position et orientation séparément est précisément ce qu’a acheté le troisième segment.
Q5. Ces figures bougent-elles comme un vrai robot industriel ?
R. Non. Ce sont des modèles simplifiés qui isolent la correspondance cinématique, sans frottement, sans inertie, sans butées réelles ni bruit de mesure. Une machine réelle a une course limitée à chaque articulation : une posture que le calcul accepte peut rester inatteignable. La rubrique « Dans la figure de cette page » de chaque section indique ce que la figure ne calcule pas.
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