Gire as juntas de um braço robótico numa certa quantidade e a mão vai parar em algum lugar. Decida, em vez disso, onde quer a mão, e será preciso descobrir quanto deve valer cada ângulo. A primeira conta é a cinemática direta; a segunda, a cinemática inversa. Juntas, são a forma de transitar entre duas descrições do mesmo braço — um conjunto de ângulos, ou um ponto no espaço — e quase todo o resto sobre braços é construído em cima disso.
Esta série acompanha esse vaivém com diagramas que você pode arrastar. Esta página trata um braço planar de dois elos (um 2R planar) nos dois sentidos e depois acrescenta um terceiro elo, para que também a orientação da mão possa ser fixada. O formato da região que um braço alcança, e os lugares onde a sua postura desmorona, são o assunto da parte 2: espaço de trabalho, singularidades e robôs reais.
Todas as figuras abaixo são modelos simplificados feitos para mostrar um mecanismo. Nenhuma reproduz o robô de um fabricante específico, e nenhuma inclui atrito, inércia, os limites de junta de uma máquina real ou ruído de medição. A rubrica «Na figura desta página» de cada seção diz o que aquela figura faz e o que não faz.
Cinemática direta (figura 1)
Como funciona a cinemática
Fixados os ângulos θ₁ e θ₂, a posição da ponta (x, y) também fica fixada. O primeiro elo sai da base na direção θ₁ com comprimento L₁. O segundo dobra mais θ₂ no cotovelo, então aponta segundo θ₁+θ₂, e percorre um comprimento L₂. Some esses dois vetores e você tem a ponta.
O que importa aqui é que existe exatamente uma resposta. Dê ao braço os seus ângulos e a mão vai para um único lugar, sem nada a decidir pelo caminho. Essa docilidade pertence só ao sentido direto, como mostra a seção seguinte.
Na figura desta página
O braço está à esquerda e o plano de trabalho, desenhado como uma grade, à direita. A seta verde aponta do braço para a grade: os ângulos são a causa e a posição da ponta é o efeito. Os pontos azuis dos dois lados e os números abaixo mostram todos o mesmo estado (θ₁, θ₂, x, y), de modo que arrastar o cotovelo ou a ponta move os três de uma vez.
| Configuração | L₁=L₂=1, base na origem. O círculo tracejado é o alcance máximo, L₁+L₂=2. Aqui não há círculo interno porque |L₁−L₂|=0. |
|---|---|
| Cores | Cinza é a base, âmbar o cotovelo, azul a ponta. A linha azul-clara é o caminho percorrido pela ponta, visível só com a Trilha ligada; começa desligada. |
| Leitura à esquerda | Os arcos e os valores são θ₁, medido do eixo +x até o primeiro elo, e θ₂, a dobra do cotovelo. |
| Leitura à direita | As perpendiculares baixadas da ponta, com x= e y= marcados sobre os eixos. |
| Controles | Arraste o cotovelo ou a ponta; um ponto arrastável alarga um pouco ao passar o cursor. A Trilha liga e desliga o caminho. |
| O que fica de fora | Atrito, inércia, os limites de junta de uma máquina real e o ruído de medição. |
Cinemática inversa (figura 2)
Como funciona a cinemática
Agora a posição (x, y) vem primeiro e é preciso deduzir os ângulos a partir dela. Tome o triângulo cujos vértices são a base, o cotovelo e a ponta. Os seus três lados são conhecidos — L₁, L₂ e a distância da base ao alvo — então a lei dos cossenos dá a dobra do cotovelo, θ₂. Com θ₂ em mãos, θ₁ sai de tomar o rumo do alvo e subtrair a parte que cabe ao cotovelo.
O ± diante do arco-cosseno resume num símbolo todo o caráter da cinemática inversa. Em geral há duas posturas que colocam a ponta no mesmo lugar, uma com o cotovelo levantado e outra com o cotovelo caído, e qualquer das duas serve. Onde o sentido direto não tinha nada a escolher, o inverso vem sempre com uma escolha embutida — e numa máquina real, seguindo uma trajetória, é aí que a dificuldade começa.
Na figura desta página
A disposição é a da figura 1, mas a seta verde agora vai ao contrário, da grade para o braço. Mova a ponta e veja θ₁ e θ₂ serem recalculados para acompanhá-la. Os botões Cotovelo cima e Cotovelo baixo alternam entre as duas posturas deixando a ponta exatamente onde está.
| Configuração | Os mesmos L₁=L₂=1 da figura 1. A ponta não pode sair do círculo de alcance; se você arrastar além, a figura a traz de volta à borda. |
|---|---|
| As duas soluções | Cotovelo cima e Cotovelo baixo são as duas posturas que alcançam o mesmo (x, y). |
| Controles | Sobretudo arrastar a ponta, embora o cotovelo também se mexa. A Trilha liga e desliga o caminho; começa desligada. |
| O que fica de fora | Planejamento de trajetória, limites de velocidade e o detalhe do que acontece perto de uma singularidade — disso cuida a parte 2. |
Acrescentar um terceiro elo (figura 3)
Como funciona a cinemática
Continuando no plano e acrescentando mais um elo, obtemos um braço 3R, ao qual se pode dizer não só onde pôr a ponta, mas também para onde ela deve olhar. Num plano, essa orientação é simplesmente a soma dos ângulos, φ = θ₁+θ₂+θ₃. Depositar uma peça num ângulo determinado, ou manter uma ferramenta perpendicular a uma superfície, é exatamente uma exigência desse tipo.
Resolver o problema inverso não significa atacar os três ângulos de uma vez. Ele se divide em três passos:
- Use φ para localizar o punho. Recue da ponta, no sentido oposto a φ, o comprimento do terceiro elo L₃, e ali está o punho.
- Resolva esse punho (xw, yw) como um problema 2R nos elos 1 e 2 — é aí que o par cotovelo cima e cotovelo baixo reaparece.
- Preencha o que resta com θ₃ = φ − θ₁ − θ₂.
Dito de outro modo: fixar a orientação é o que fixa o punho, e do punho para dentro estamos de volta à figura 2. Separar primeiro o punho e resolver o resto depois é um hábito que se transporta para os braços que trabalham em três dimensões.
Na figura desta página
Este é o menor 3R que vale a pena desenhar. A barra azul que sai da ponta é a alça de orientação, e girá-la muda φ. Arrastar a ponta resolve só a posição, mantendo φ onde estava. Leia isto como a cena do 2R com uma grandeza a mais para especificar.
| Configuração | L₁=L₂=L₃=2/3, de modo que o alcance máximo continua sendo 2. φ = θ₁+θ₂+θ₃. |
|---|---|
| Cores | Cinza é a base, âmbar amarelado a primeira junta, âmbar avermelhado a segunda, azul a ponta. A barra azul que sai da ponta é a alça de orientação. |
| Leitura à direita | Perpendiculares da ponta com x= e y=. O ponto na extremidade da alça de orientação também define φ. |
| Controles | A alça fixa φ. Arrastar a ponta resolve a posição mantendo φ. A segunda junta desliza livremente pelo plano e a primeira a acompanha. |
| O que fica de fora | Escolher de forma coerente entre soluções redundantes enquanto o braço se move, e posturas como o giro de um punho de seis eixos. |
Onde entram os braços industriais de seis eixos
Como funciona a cinemática
O 2R planar acima é a correspondência entre uma posição (x, y) e um par de ângulos (θ₁, θ₂); o 3R planar é o mínimo que acrescenta uma orientação φ por cima. Um braço industrial de seis eixos tem aproximadamente três graus de liberdade de posição e três de orientação, e com eles chegam perguntas que o caso planar nunca faz: se existe sequer uma solução fechada ou se a resposta precisa ser buscada numericamente, e qual das várias soluções válidas tomar.
O jeito de ler, esse não muda. O sentido direto vai dos ângulos para a mão; o inverso, da mão para os ângulos, e o que cresce é o número de graus de liberdade e o número de ramos. O gesto da figura 3 — recuar até o punho e resolver o resto como um 2R — é um padrão que reaparece muitas vezes em três dimensões.
Nesta série
Aqui não há uma figura interativa de seis eixos. Tanto a aritmética quanto o conjunto de controles que ela exigiria pertencem a outra escala que a dos diagramas planos. O que se transporta é a intuição sobre o 2R e o 3R, e a parte 2 a põe para trabalhar em três perguntas:
- O espaço de trabalho — que formato têm de fato as regiões alcançáveis e as que não são
- As singularidades — as fronteiras, como um braço totalmente esticado, onde as duas soluções se juntam e desmoronam
- O preço de uma orientação — pontos que o braço alcança sem esforço mas deixa de alcançar assim que você diz também para onde olhar
Resumo
A cinemática direta, que vai dos ângulos para a mão, é uma soma de vetores com uma única resposta. A cinemática inversa, que faz o caminho de volta, resolve-se com a lei dos cossenos e atan2, mas entrega duas posturas válidas ao mesmo tempo: cotovelo cima e cotovelo baixo. Um sentido é dócil, o outro se ramifica; e essa assimetria já aparece no menor braço que vale a pena desenhar.
Acrescentar um terceiro elo compra a capacidade de fixar a orientação além da posição, e o problema inverso ganha uma estrutura: recuar até o punho, resolver o 2R, preencher o resto. Essa única grandeza a mais basta para transformar uma fórmula num procedimento, e é isso que convém notar antes de passar a braços com mais eixos.
A parte 2: espaço de trabalho, singularidades e robôs reais pega o mesmo braço planar e pergunta até onde ele chega, onde as suas duas soluções se fundem numa só, e quanto custa impor uma orientação.
Perguntas frequentes
Q1. A cinemática inversa tem sempre duas soluções?
R. Num 2R planar, em geral sim, com duas exceções. Onde o braço fica totalmente esticado — sobre a borda do círculo de alcance — θ₂ vira 0, cotovelo cima e cotovelo baixo são a mesma postura, e as duas se fundem numa. No outro extremo, se L₁ e L₂ forem diferentes e você mirar bem perto da base, o ponto cai no buraco que o braço não alcança e não há solução nenhuma. Essas fronteiras, onde o número de soluções muda, são o assunto da parte 2.
Q2. Por que se usa atan2 para achar θ₁?
R. O arco-tangente comum só recebe a razão y/x, então não distingue (x, y) de (−x, −y) e a sua resposta pode sair meia volta deslocada. O atan2 recebe x e y separados e deduz o quadrante da combinação de sinais. Um braço aponta em todas as direções, de modo que essa distinção precisa ser preservada.
Q3. O que acontece se eu arrastar a ponta para fora do círculo de alcance?
R. Ela volta empurrada para a borda. Em vez de tratar um comando inalcançável como erro e parar, estas figuras o arredondam para o ponto alcançável mais próximo. Em equipamento real isso é uma decisão de projeto: alguns controladores fazem exatamente isso e outros simplesmente rejeitam o comando.
Q4. Na figura 3R, por que mover a ponta não muda a sua orientação?
R. Porque arrastar a ponta é resolvido como um problema inverso só de posição, com φ fixo. Para mudar a orientação, use a alça azul que sai da ponta. Poder comandar posição e orientação separadamente é justamente o que o terceiro elo comprou.
Q5. Estas figuras se movem como um robô industrial de verdade?
R. Não. São modelos simplificados que isolam a correspondência cinemática, sem atrito, inércia, limites de junta reais ou ruído de medição. Uma máquina real tem curso limitado em cada junta, então uma postura que a aritmética aceita pode continuar inalcançável. A rubrica «Na figura desta página» de cada seção diz o que aquela figura não está calculando.
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