Welche Form hat der Bereich, den ein Roboterarm erreichen kann, und was geschieht an dessen Rand? Diese Seite verfolgt drei Antworten an Diagrammen, die Sie ziehen können: den Bereich, den ein ebener Arm tatsächlich erreicht, die Singularitäten, an denen seine zwei Lösungen zusammenfallen und zusammenbrechen, und wie viel von diesem Bereich übrig bleibt, wenn Sie zusätzlich fordern, wohin die Hand zeigen soll.
Wenn Sie die Zuordnung zwischen Gelenkwinkeln und Position der Spitze von Grund auf wollen, beginnen Sie mit Teil 1: der ebene Arm mit zwei Gliedern. Alles Folgende greift die dortige Notation wieder auf — θ₁, θ₂, θ₃ für die Gelenke und φ für die Orientierung der Spitze — samt dem Stellungspaar Ellbogen oben und Ellbogen unten.
Der Arbeitsraum (Abbildung 1)
Wie die Kinematik funktioniert
Die Stellen, an die ein ebener 2R seine Spitze setzen kann, bilden einen Ring um die Basis. Der äußere Rand ist der schnurgerade gestreckte Arm, bei einem Radius von L₁+L₂. Der innere Rand ist das ganz auf das erste zurückgeklappte zweite Glied, bei einem Radius von |L₁−L₂|. Liegt der Abstand r zur Basis dazwischen, ist der Punkt erreichbar; sonst nicht.
Ausschlaggebend ist hier der Unterschied zwischen den beiden Längen. Machen Sie L₁ und L₂ gleich, dann wird der Innenradius 0: Das Loch schließt sich, und der Ring füllt sich zur vollen Scheibe. Machen Sie sie ungleicher, dann wächst das unerreichbare Loch in der Mitte, bis der Arm etwas, das direkt über seiner eigenen Basis liegt, nicht mehr aufheben kann. Diese Abbildung zeigt: Die Form des erreichbaren Bereichs entscheiden die Abmessungen der Glieder, nicht irgendetwas, was die Steuerung tut.
In der Abbildung auf dieser Seite
L₁ und L₂ liegen auf Reglern. Bewegen Sie einen davon, und beide Ränder des Rings werden gemeinsam neu gezeichnet, mit schraffiert gefülltem unerreichbarem Bereich. Der grüne Pfeil zeigt vom Arm zum Raster, denn was den erreichbaren Bereich festlegt, sind die Abmessungen des Arms und nicht, wohin Sie die Spitze gern setzen würden.
| Aufbau | Ebener 2R mit L₁ und L₂ auf Reglern; sie starten bei L₁=1, L₂=0,6, damit das innere Loch sichtbar ist. Grau gestrichelt ist die maximale Reichweite, bernsteinfarben die minimale. |
|---|---|
| Farben | Grau ist die Basis, bernsteinfarben der Ellbogen, blau die Spitze. Hellblau ist die Spur, sichtbar bei eingeschalteter Spur. Die schraffierte Fläche ist, was der Arm nicht erreicht. |
| Ablesen rechts | Der erreichbare Ring und das (x, y) der Spitze. Ziehen Sie aus dem Ring hinaus oder in das innere Loch hinein, wird die Spitze zurückgeschoben. |
| Bedienung | Die Regler L₁ und L₂, Ziehen an der Spitze, Ellbogen oben und Ellbogen unten sowie Spur; die Spur startet aus. |
| Nicht enthalten | Hindernisse, Gelenkgrenzen und Dynamik. Der Ring hier ist die erreichbare Menge als reine Geometrie. |
Nahe einer Singularität (Abbildung 2)
Wie die Kinematik funktioniert
Nahe am Rand des Rings tritt ein zweites Problem auf, das nichts damit zu tun hat, ob ein Punkt erreichbar ist. Die Matrix, die beschreibt, wie Gelenkbewegung zu Bewegung der Spitze wird — die Jacobi-Matrix — hat beim ebenen 2R eine Determinante proportional zu L₁L₂ sin θ₂. Ist der Arm fast gerade (θ₂ nahe 0) oder fast auf sich selbst zurückgeklappt (θ₂ nahe ±180°), dann ist |sin θ₂| klein und diese Determinante nähert sich null.
Das ist die Umgebung einer Singularität. Die Vorstellung, die man behalten sollte: Es ist der Bereich, in dem ein kleines Stück Weg der Spitze eine große, schnelle Drehung der Gelenke verlangt. Aus einer voll gestreckten Stellung heraus gibt es nichts mehr, was sich weiter nach außen strecken ließe, während eine kleine seitliche Bewegung die Gelenke plötzlich stark beschäftigt. An echter Hardware schießen hier die kommandierten Geschwindigkeiten hoch, und eine geplante Bahn fällt auseinander.
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Der einzige angezeigte Kennwert ist |sin θ₂|. Er ist ein grober Ersatz für die Manipulierbarkeit, keine Auswertung der Jacobi-Matrix selbst. Sinkt der Wert, färbt sich die Spitze rot und eine gestrichelte Linie wird entlang des Radius gezogen. Ziehen Sie die Spitze zum äußeren Kreis und gehen Sie auf die Suche nach dem Rot.
| Aufbau | L₁=L₂=1. Der Kennwert ist |sin θ₂|, ein einfacher Ersatz für die Manipulierbarkeit. |
|---|---|
| Bedienung | Ziehen Sie die Spitze nach außen oder innen. Ellbogen oben und Ellbogen unten sowie Spur; die Spur startet aus. |
| Nicht enthalten | Keine numerische Auswertung der vollen Jacobi-Matrix und keinerlei Simulation kommandierter Geschwindigkeiten. |
Wo die beiden Zweige verschmelzen (Abbildung 3)
Wie die Kinematik funktioniert
Hier ist dasselbe Gelände von der anderen Seite genommen: die Tatsache, dass eine Position der Spitze zwei Stellungen zulässt, Ellbogen oben und Ellbogen unten. Bewegen Sie die Spitze zum äußeren Kreis, dann strebt θ₂ gegen 0, was die beiden möglichen Ellbogenlagen stetig zusammenrücken lässt. Auf dem Kreis selbst fallen sie zusammen, und die zwei Lösungen sind zu einer verschmolzen.
Das ist es, was aus dem sinkenden |sin θ₂| von Abbildung 2 wird, wenn man Lösungen zählt statt misst. Eine Singularität ist zugleich eine Stelle, an der der Stellung der Spielraum ausgeht, und eine Grenze, an der die Wahl der Stellung verschwindet. Rückwärts gelesen: Solange innerhalb des Rings bequemer Spielraum bleibt, steht Ihnen jede der beiden Stellungen offen.
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Beide Lösungen werden gemeinsam gezeichnet: durchgezogen der gerade gewählte Zweig, gestrichelt der andere. Der Abstand zwischen den beiden Ellbogen und |Δθ₂| stehen als Zahlen da, Sie können also zusehen, wie beide schrumpfen, während sich die Spitze dem äußeren Kreis nähert. Beachten Sie: Die Abbildung stellt die zwei Stellungen nur nebeneinander; sie behandelt keine Bahn, die mitten in der Bewegung den Zweig wechselt.
| Aufbau | Ebener 2R mit L₁=L₂=1, der Ellbogen oben und Ellbogen unten zu demselben (x, y) zeigt. |
|---|---|
| Farben | Durchgezogen ist der gewählte Zweig, gestrichelt der andere. Rechts sind der bernsteinfarbene und der graue Punkt die beiden Ellbogen. |
| Bedienung | Ziehen an der Spitze, Ellbogen oben und Ellbogen unten sowie Spur; die Spur startet aus. |
| Nicht enthalten | Eine Bahn zu erzeugen, die stetig den Zweig wechselt, und die vielen Lösungen eines sechsachsigen Arms aufzuzählen. |
Dieselbe Verschmelzung mit drei Gliedern (Abbildung 4)
Wie die Kinematik funktioniert
Hängen Sie das dritte Glied an, und dieselbe Verschmelzung tritt ein. Wie Teil 1 gezeigt hat, legt das Festlegen der Orientierung φ das Handgelenk fest, und übrig bleibt ein inverses 2R-Problem auf den Gliedern 1 und 2. Die Struktur mit zwei Zweigen überlebt also unversehrt, und die Zweige verschmelzen, wenn sich dieser innere 2R streckt — also wenn das Handgelenk so weit von der Basis entfernt ist, wie es nur sein kann.
Neu ist, dass Sie das Handgelenk selbst bewegen können. Am Orientierungsgriff zu drehen ändert φ und zieht das Handgelenk mit, sodass Sie von einem fast verschmolzenen in einen bequemen Zustand kommen, ohne die Spitze anzurühren. Mehr Achsen lassen die singuläre Struktur nicht verschwinden; sie machen daraus die Frage, welcher Teilmechanismus gerade gestreckt ist.
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Wie in Abbildung 3 sind die beiden Zweige durchgezogen und gestrichelt, doch was sich jetzt verzweigt, ist der Teil aus den Gliedern 1–2. Drehen Sie am Orientierungsgriff, um φ zu ändern, suchen Sie die Richtung, die das Handgelenk streckt, und sehen Sie zu, wie die beiden Linien zusammenkommen. Dieses Gefühl — dass eine andere Orientierung den Spielraum der Stellung ändert — ist das Thema von Abbildung 5.
| Aufbau | Ebener 3R mit L₁=L₂=L₃=2/3. Die Verzweigung sitzt in den Gliedern 1–2, dem über das Handgelenk erreichten 2R. φ wird über den Orientierungsgriff gesetzt. |
|---|---|
| Bedienung | Der Orientierungsgriff für φ, Ziehen an der Spitze oder an den Gelenken sowie Spur. |
| Nicht enthalten | Die stimmige Wahl zwischen redundanten Lösungen während der Bewegung und Stellungen wie das Rollen eines sechsachsigen Handgelenks. |
Die Reichweite bei festgelegter Orientierung (Abbildung 5)
Wie die Kinematik funktioniert
Zuletzt: was mit dem erreichbaren Bereich geschieht, wenn Sie nicht nur angeben, wohin die Spitze geht, sondern auch, wohin sie zeigt. Bei einem 3R, dessen drei Glieder alle L messen, kann die Spitze ohne Vorgabe der Orientierung an jedem Punkt einer Scheibe vom Radius 3L stehen. Fordern Sie dagegen eine Orientierung φ, dann ist das Handgelenk an den Punkt genagelt, der eine Länge L hinter der Spitze liegt, entgegen φ — und dieses Handgelenk muss in Reichweite der Glieder 1 und 2 fallen, innerhalb eines Radius von 2L.
Die Menge der Stellen, an die die Spitze gehen kann, schrumpft damit auf einen Kreis vom Radius 2L, dessen Mittelpunkt um L von der Basis in Richtung φ versetzt ist. Er ist kleiner als die Scheibe vom Radius 3L, und mit wechselndem φ wandert sein Mittelpunkt herum. Die Folge: Dieselbe Koordinate kann unter der einen Orientierung erreichbar und unter einer anderen unerreichbar sein. Wie viel Spielraum bleibt, wenn Position und Orientierung zugleich erfüllt sein müssen, ist der Einstieg in das, was man Geschicklichkeit nennt.
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Zwei Kreise liegen übereinander. Der grau gestrichelte ist die äußere Grenze bei freier Orientierung, der blaue ist das bei gewähltem φ Erreichbare, und das bernsteinfarbene Band ist der Unterschied. Bewegen Sie den φ-Regler oder den Orientierungsgriff, und der Mittelpunkt des blauen Kreises wandert um die Basis und nimmt das bernsteinfarbene Band mit. In diesem Band liegen die Punkte, die der Arm der Position nach erreichen könnte, aber nicht mit Blick in jene Richtung.
| Aufbau | Ebener 3R mit L₁=L₂=L₃=2/3, der die Reichweite bei freier Orientierung der Reichweite bei gewähltem φ gegenüberstellt. |
|---|---|
| Bedienung | Der Orientierungsgriff, der Mittelpunkt des blauen Kreises und der φ-Regler; ebenso Ziehen an der Spitze oder den Gelenken sowie Spur. |
| Nicht enthalten | Die stetige Auswahl zwischen redundanten Bahnen, Gelenkgrenzen und die volle Orientierung eines sechsachsigen Arms. |
Wo sechsachsige Industriearme ins Spiel kommen
Wie die Kinematik funktioniert
Alles Bisherige spielte in einer Ebene, kehrt aber vollständig, in anderer Gestalt, an einem sechsachsigen Arm im Raum wieder. Die Unterscheidung zwischen vorwärts und invers; der erreichbare Bereich als eine von der Geometrie entschiedene Menge; die Grenzen nahe einer Singularität, an denen Lösungen zusammenbrechen oder sich vervielfachen; die Verengung, die eine geforderte Orientierung mitbringt. Diese vier sind das Gerüst, und die Zahl der Achsen ändert daran nichts.
In dieser Reihe
Eine interaktive Abbildung mit sechs Achsen gibt es nicht, weil sich so etwas nicht mit demselben Gefühl bedienen lässt wie ein ebenes Diagramm. Was ein echter sechsachsiger Arm hinzufügt, sieht eher so aus:
- Freiheitsgrade in der Orientierung — in der Ebene war die Orientierung die eine Größe φ; im Raum wirken drei Drehungen zugleich.
- Zwischen Lösungen wählen, und zwar stetig — aus der Verzweigung Ellbogen oben und Ellbogen unten werden viele Verzweigungen, und die Steuerung muss fortlaufend wählen, damit der Arm nicht mitten in der Bewegung den Zweig wechselt.
- Gelenkgrenzen — ein Winkel, den die Rechnung zulässt, kann ein Winkel sein, in den die Maschine körperlich nicht drehen kann.
- Kalibrierung — jede Abweichung zwischen den Soll- und den gebauten Abmessungen kommt als Fehler an der Hand heraus.
Auch mit all dem obendrauf ändert sich die Reihenfolge nicht, in der man das Problem liest: erst geometrisch prüfen, ob der Punkt überhaupt erreichbar ist, dann sehen, ob die Stellung Spielraum zum Arbeiten hat, und erst dann fragen, ob die geforderte Orientierung erfüllt werden kann.
Zusammenfassung
Der Bereich, den ein ebener 2R erreicht, ist ein Ring mit Außenradius L₁+L₂ und Innenradius |L₁−L₂|. Ihn legen die Abmessungen der Glieder fest und kein Geschick der Steuerung, sodass sich das Loch in der Mitte nur schließen lässt, indem man die beiden Längen angleicht. Nahe am Rand dieses Rings wird |sin θ₂| klein, und die Spitze ein wenig zu bewegen beginnt große Gelenkdrehungen zu verlangen.
Lösungen zu zählen beschreibt dieselbe Stelle anders. Die Stellungen Ellbogen oben und Ellbogen unten rücken zusammen, während sich die Spitze dem äußeren Kreis nähert, und auf dem Kreis werden sie eins. Ein 3R verhält sich genauso: Legen Sie die Orientierung φ fest, dann sinkt das Problem auf einen über das Handgelenk erreichten 2R, und dieselbe Verschmelzung tritt ein. Fordern Sie φ zusätzlich, dann schrumpfen die Stellen, an die die Spitze gehen kann, von einer Scheibe mit Radius 3L auf einen Kreis mit Radius 2L, versetzt in Richtung φ.
Erreichbarkeit, Spielraum der Stellung und geforderte Orientierung sind drei Dinge, die man in dieser Reihenfolge ansieht, und mehr Achsen ordnen sie nicht um. Für die Zuordnung zwischen Gelenkwinkeln und Position der Spitze selbst siehe Teil 1: der ebene Arm mit zwei Gliedern.
Häufige Fragen
F1. Wann hat der Arbeitsraum ein Loch in der Mitte?
A. Wenn die beiden Glieder verschieden lang sind. Der Innenradius ist |L₁−L₂|, gleiche Längen ergeben also 0 und das Loch verschwindet. Nehmen Sie in Abbildung 1 den Regler für L₂ und führen Sie ihn von L₁ weg: Sie sehen den unerreichbaren Bereich um die Mitte wachsen.
F2. Muss man Singularitäten meiden?
A. Das hängt von der Bahn ab, der Sie folgen wollen. Es ist nicht so, dass eine Singularität keine Lösung hätte; die Eigenschaft ist, dass nahe einer Singularität eine kleine Bewegung der Spitze meist eine große Bewegung in den Gelenken verlangt. Eine voll gestreckte Stellung kann zudem die steifste und günstigste sein, sie sind also nicht durchweg schlecht. Diese Abbildung zeigt die geometrische Tatsache, dass dort wenig Spielraum bleibt, und sonst nichts.
F3. Kann |sin θ₂| die Jacobi-Matrix ersetzen?
A. Nur als Abkürzung, und nur beim ebenen 2R. Bei genau diesem Mechanismus ist die Determinante proportional zu L₁L₂ sin θ₂, sodass |sin θ₂| allein die Nähe zu einer Singularität nachzeichnet. Ein allgemeiner Mechanismus vereinfacht sich nicht so und verlangt, dass seine Singulärwerte ordentlich berechnet werden. Diese Abbildung wertet die Jacobi-Matrix überhaupt nicht numerisch aus.
F4. Wenn eine festgelegte Orientierung Reichweite kostet, warum legt man überhaupt eine fest?
A. Weil die Aufgabe es verlangt. Ein Teil in einer bestimmten Lage zu fügen oder ein Werkzeug senkrecht auf einer Fläche zu halten, gelingt nicht, indem man nur die Position trifft. Das bernsteinfarbene Band in Abbildung 5 macht genau sichtbar, was für diese Forderung aufgegeben wurde.
F5. Gilt das, was diese Abbildungen zeigen, auch für einen sechsachsigen Roboter?
A. Das Gerüst der Überlegung überträgt sich, doch dies sind vereinfachte ebene Modelle und sie bilden sechsachsige Bewegung nicht nach. Dass die Reichweite von der Geometrie entschieden wird, dass der Spielraum nahe einer Singularität schrumpft und dass eine geforderte Orientierung den Bereich verengt, gilt auch bei sechs Achsen. Die Orientierung im Dreidimensionalen zu behandeln, Gelenkgrenzen und die Wahl zwischen vielen Lösungen stecken nicht in diesen Abbildungen.
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