Quelle forme a la région qu’un bras robotique peut atteindre, et que se passe-t-il sur son bord ? Cette page poursuit trois réponses avec des diagrammes que vous pouvez manipuler : la région qu’un bras plan atteint vraiment, les singularités où ses deux solutions se rejoignent et s’effondrent, et ce qui reste de cette région lorsque vous exigez en plus dans quelle direction la main doit regarder.
Si vous voulez la correspondance entre angles d’articulation et position de l’extrémité depuis le début, commencez par la partie 1 : le bras plan à deux segments. Tout ce qui suit réutilise la notation de là-bas — θ₁, θ₂, θ₃ pour les articulations et φ pour l’orientation de l’extrémité — ainsi que la paire de postures coude haut et coude bas.
L’espace de travail (figure 1)
Comment fonctionne la cinématique
Les endroits où un 2R plan peut poser son extrémité forment un anneau autour de la base. Le bord extérieur, c’est le bras tendu en ligne droite, à un rayon de L₁+L₂. Le bord intérieur, c’est le second segment entièrement replié sur le premier, à un rayon de |L₁−L₂|. Si la distance r à la base tombe entre les deux, le point est atteignable ; sinon, il ne l’est pas.
Ce qui commande ici, c’est l’écart entre les deux longueurs. Rendez L₁ et L₂ égaux et le rayon intérieur devient 0 : le trou se referme et l’anneau se remplit en disque plein. Rendez-les plus inégaux et le trou inatteignable au centre grandit, au point que le bras ne peut plus ramasser un objet posé juste au-dessus de sa propre base. Ce que montre cette figure, c’est que la forme de la région atteignable est décidée par les dimensions des segments, et non par quoi que ce soit que fasse le contrôleur.
Dans la figure de cette page
L₁ et L₂ sont sur des curseurs. Bougez l’un ou l’autre et les deux bords de l’anneau se redessinent ensemble, la zone inatteignable étant hachurée. La flèche verte va du bras au quadrillage, car ce qui fixe la région atteignable, ce sont les dimensions du bras et non l’endroit où vous aimeriez mettre l’extrémité.
| Configuration | 2R plan avec L₁ et L₂ sur curseurs ; ils démarrent à L₁=1, L₂=0,6 pour que le trou intérieur soit visible. Le pointillé gris est la portée maximale, l’ambre la minimale. |
|---|---|
| Couleurs | Gris pour la base, ambre pour le coude, bleu pour l’extrémité. Le bleu pâle est la trace, visible quand Trace est activée. La zone hachurée est ce que le bras n’atteint pas. |
| Lecture à droite | L’anneau atteignable et le (x, y) de l’extrémité. Si vous tirez hors de l’anneau ou dans le trou intérieur, l’extrémité est ramenée. |
| Commandes | Les curseurs L₁ et L₂, faire glisser l’extrémité, Coude haut et Coude bas, et Trace ; la trace démarre éteinte. |
| Ce qui est omis | Les obstacles, les butées articulaires et la dynamique. L’anneau tracé ici est l’ensemble atteignable en pure géométrie. |
Près d’une singularité (figure 2)
Comment fonctionne la cinématique
Près du bord de l’anneau apparaît un second problème, sans rapport avec le fait qu’un point soit atteignable ou non. La matrice qui décrit comment le mouvement des articulations devient mouvement de l’extrémité — la jacobienne — a, pour un 2R plan, un déterminant proportionnel à L₁L₂ sin θ₂. Quand le bras est presque droit (θ₂ proche de 0) ou presque replié sur lui-même (θ₂ proche de ±180°), |sin θ₂| est petit et ce déterminant s’approche de zéro.
C’est le voisinage d’une singularité. L’intuition à retenir : c’est la région où pousser l’extrémité d’une petite distance exige une rotation grande et rapide des articulations. Depuis une posture entièrement tendue, il ne reste rien à étendre vers l’extérieur, tandis qu’un petit déplacement latéral occupe soudain beaucoup les articulations. Sur du matériel réel, c’est là que les vitesses commandées s’emballent et qu’une trajectoire planifiée se disloque.
Dans la figure de cette page
Le seul indicateur affiché est |sin θ₂|. C’est un substitut grossier de la manipulabilité, pas une évaluation de la jacobienne elle-même. À mesure que la valeur baisse, l’extrémité vire au rouge et un trait en pointillés est tracé le long du rayon. Faites glisser l’extrémité vers le cercle extérieur et partez à la recherche du rouge.
| Configuration | L₁=L₂=1. L’indicateur est |sin θ₂|, un substitut simple de la manipulabilité. |
|---|---|
| Commandes | Faites glisser l’extrémité vers l’extérieur ou l’intérieur. Coude haut et Coude bas, et Trace ; la trace démarre éteinte. |
| Ce qui est omis | Aucun tracé numérique de la jacobienne complète, ni aucune simulation des vitesses commandées. |
Là où les deux branches fusionnent (figure 3)
Comment fonctionne la cinématique
Voici le même terrain pris par l’autre bout : le fait qu’une position de l’extrémité admette deux postures, coude haut et coude bas. Déplacez l’extrémité vers le cercle extérieur et θ₂ file vers 0, ce qui rapproche continûment les deux positions possibles du coude. Sur le cercle lui-même, elles coïncident, et les deux solutions ont fusionné en une.
C’est ce que devient le |sin θ₂| décroissant de la figure 2 lorsqu’on compte les solutions au lieu de mesurer. Une singularité est à la fois un endroit où la posture manque de marge et une frontière où le choix de posture disparaît. À l’envers : tant qu’il reste une marge confortable à l’intérieur de l’anneau, les deux postures sont à votre disposition.
Dans la figure de cette page
Les deux solutions sont dessinées ensemble : le trait plein est la branche actuellement sélectionnée, le pointillé l’autre. L’écart entre les deux coudes et |Δθ₂| sont donnés en chiffres, vous pouvez donc voir les deux se réduire à mesure que l’extrémité approche du cercle extérieur. À noter : la figure ne fait que montrer les deux postures côte à côte ; elle ne traite pas une trajectoire qui changerait de branche en cours de mouvement.
| Configuration | 2R plan avec L₁=L₂=1, montrant coude haut et coude bas pour un même (x, y). |
|---|---|
| Couleurs | Le trait plein est la branche sélectionnée, le pointillé l’autre. À droite, les points ambre et gris sont les deux coudes. |
| Commandes | Faire glisser l’extrémité, Coude haut et Coude bas, et Trace ; la trace démarre éteinte. |
| Ce qui est omis | Générer une trajectoire qui change de branche de façon continue, et énumérer les nombreuses solutions d’un bras à six axes. |
La même fusion avec trois segments (figure 4)
Comment fonctionne la cinématique
Ajoutez le troisième segment et la même fusion se produit. Comme l’a montré la partie 1, fixer l’orientation φ fixe le poignet, et ce qui reste est un problème inverse 2R sur les segments 1 et 2. La structure à deux branches survit donc intacte, et les branches fusionnent quand ce 2R interne se redresse — c’est-à-dire quand le poignet est aussi loin de la base qu’il peut l’être.
Ce qui est nouveau, c’est que vous pouvez déplacer le poignet vous-même. Tourner la poignée d’orientation change φ et entraîne le poignet avec elle : vous pouvez donc passer d’un état presque fusionné à un état confortable sans toucher à l’extrémité. Ajouter des axes ne fait pas disparaître la structure singulière ; cela la transforme en la question de savoir quel sous-mécanisme est tendu à un instant donné.
Dans la figure de cette page
Comme à la figure 3, les deux branches sont le trait plein et le pointillé, mais ce qui bifurque maintenant, c’est la partie des segments 1–2. Tournez la poignée d’orientation pour changer φ, cherchez la direction qui redresse le poignet, et regardez les deux traits se rejoindre. Cette sensation — changer l’orientation change la marge de la posture — est le sujet de la figure 5.
| Configuration | 3R plan avec L₁=L₂=L₃=2/3. La bifurcation a lieu sur les segments 1–2, le 2R atteint par le poignet. φ est réglé par la poignée d’orientation. |
|---|---|
| Commandes | La poignée d’orientation pour φ, faire glisser l’extrémité ou les articulations, et Trace. |
| Ce qui est omis | Choisir de façon cohérente parmi des solutions redondantes pendant le mouvement, et les postures telles que le roulis d’un poignet à six axes. |
La portée une fois l’orientation fixée (figure 5)
Comment fonctionne la cinématique
Reste à voir ce que devient la région atteignable quand vous précisez non seulement où va l’extrémité, mais dans quelle direction elle regarde. Sur un 3R dont les trois segments mesurent tous L, et sans contrainte d’orientation, l’extrémité peut se placer n’importe où dans un disque de rayon 3L. Imposez au contraire une orientation φ et le poignet est cloué au point situé une longueur L en arrière de l’extrémité, à l’opposé de φ — et ce poignet doit tomber à portée des segments 1 et 2, dans un rayon de 2L.
L’ensemble des endroits où l’extrémité peut aller se réduit donc à un cercle de rayon 2L, centré sur le point décalé de L depuis la base dans la direction φ. Il est plus petit que le disque de rayon 3L et, à mesure que φ change, son centre tourne. La conséquence : une même coordonnée peut être atteignable sous une orientation et inatteignable sous une autre. La marge qui reste quand il faut satisfaire ensemble position et orientation est la porte d’entrée de ce qu’on appelle la dextérité.
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Deux cercles sont superposés. Le pointillé gris est la limite extérieure à orientation libre, le bleu est ce qui est atteignable au φ choisi, et la bande ambre est la différence. Déplacez le curseur φ ou la poignée d’orientation et le centre du cercle bleu fait le tour de la base en emportant la bande ambre. Dans cette bande se trouvent les points que le bras pourrait atteindre en position, mais pas en regardant dans cette direction.
| Configuration | 3R plan avec L₁=L₂=L₃=2/3, opposant la portée à orientation libre et la portée à un φ choisi. |
|---|---|
| Commandes | La poignée d’orientation, le centre du cercle bleu et le curseur φ ; également faire glisser l’extrémité ou les articulations, et Trace. |
| Ce qui est omis | La sélection continue parmi des trajectoires redondantes, les butées articulaires et l’orientation complète d’un bras à six axes. |
Où interviennent les bras industriels à six axes
Comment fonctionne la cinématique
Tout ce qui précède s’est déroulé dans un plan, mais tout revient, sous une autre forme, sur un bras à six axes dans l’espace. La distinction entre le sens direct et le sens inverse ; la région atteignable comme un ensemble décidé par la géométrie ; les frontières près d’une singularité où les solutions s’effondrent ou se multiplient ; le rétrécissement qu’apporte une orientation imposée. Ces quatre points forment le squelette, et le nombre d’axes ne les change pas.
Dans cette série
Il n’y a pas de figure interactive à six axes, parce que ce n’est pas quelque chose qui se manipule avec la même sensation qu’un diagramme plan. Ce qu’un vrai bras à six axes ajoute ressemble plutôt à ceci :
- Des degrés de liberté en orientation — dans le plan, l’orientation était la seule grandeur φ ; dans l’espace, trois rotations interviennent ensemble.
- Choisir parmi les solutions, continûment — la bifurcation coude haut et coude bas devient de nombreuses bifurcations, et le contrôleur doit continuer à choisir pour que le bras ne saute pas de branche en plein mouvement.
- Les butées articulaires — un angle que le calcul accepte peut être un angle que la machine ne peut physiquement pas atteindre.
- L’étalonnage — chaque écart entre les dimensions nominales et les dimensions réalisées ressort comme une erreur à la main.
Même avec tout cela en plus, l’ordre de lecture du problème ne change pas : vérifier d’abord par la géométrie si le point est seulement atteignable, regarder ensuite si la posture dispose d’une marge de travail, et seulement alors demander si l’orientation exigée peut être satisfaite.
Résumé
La région qu’un 2R plan atteint est un anneau de rayon extérieur L₁+L₂ et de rayon intérieur |L₁−L₂|. Elle est fixée par les dimensions des segments et non par une habileté de commande : la seule façon de refermer le trou central est d’égaliser les deux longueurs. Près du bord de cet anneau, |sin θ₂| devient petit et déplacer l’extrémité d’un rien commence à exiger de grandes rotations des articulations.
Compter les solutions décrit le même endroit autrement. Les postures coude haut et coude bas se rapprochent à mesure que l’extrémité approche du cercle extérieur, et sur le cercle elles n’en font plus qu’une. Un 3R se comporte de même : fixez l’orientation φ et le problème redescend à un 2R atteint par le poignet, si bien que la même fusion se produit. Imposez φ en plus et les endroits où l’extrémité peut aller se réduisent d’un disque de rayon 3L à un cercle de rayon 2L, décalé dans la direction φ.
Atteignabilité, marge de posture et exigence d’orientation sont trois choses à examiner dans cet ordre, et ajouter des axes ne les réordonne pas. Pour la correspondance entre angles d’articulation et position de l’extrémité elle-même, voyez la partie 1 : le bras plan à deux segments.
Questions fréquentes
Q1. Quand l’espace de travail a-t-il un trou au centre ?
R. Quand les deux segments ont des longueurs différentes. Le rayon intérieur vaut |L₁−L₂| : des longueurs égales donnent 0 et le trou disparaît. Prenez le curseur L₂ de la figure 1 et éloignez-le de L₁, vous verrez la zone inatteignable grandir autour du centre.
Q2. Faut-il éviter les singularités ?
R. Cela dépend de la trajectoire à suivre. Ce n’est pas qu’une singularité n’a pas de solution ; la propriété est que près d’une singularité, un petit déplacement de l’extrémité tend à exiger un grand déplacement des articulations. Une posture entièrement tendue peut aussi être la plus rigide et la plus favorable : ces points ne sont donc pas mauvais de façon uniforme. Cette figure montre le fait géométrique qu’il reste peu de marge à cet endroit, rien de plus.
Q3. |sin θ₂| peut-il remplacer la jacobienne ?
R. Comme raccourci seulement, et seulement pour un 2R plan. Sur ce mécanisme précis, le déterminant est proportionnel à L₁L₂ sin θ₂, si bien que |sin θ₂| seul suit la proximité d’une singularité. Un mécanisme général ne se simplifie pas ainsi et demande le calcul en règle de ses valeurs singulières. Cette figure n’évalue pas du tout la jacobienne numériquement.
Q4. Si fixer une orientation coûte de la portée, pourquoi en fixer une ?
R. Parce que la tâche l’exige. Insérer une pièce dans une attitude donnée, ou tenir un outil perpendiculaire à une surface, ne s’obtient pas en visant juste la position. La bande ambre de la figure 5 rend visible exactement ce qui a été cédé pour satisfaire cette exigence.
Q5. Ce que montrent ces figures vaut-il pour un robot à six axes ?
R. Le squelette du raisonnement se transporte, mais ce sont des modèles plans simplifiés qui ne reproduisent pas le mouvement à six axes. Que la portée soit décidée par la géométrie, que la marge se réduise près d’une singularité et qu’une orientation imposée rétrécisse la région valent aussi à six axes. Traiter l’orientation en trois dimensions, les butées articulaires et la manière de choisir parmi de nombreuses solutions ne figurent pas dans ces figures.
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