順運動学と逆運動学を動く図で解説（2）作業領域・特異点・産業ロボへの拡張

アームが届く範囲はどんな形をしていて、その縁では何が起きるのか。このページでは、平面アームの到達できる領域、2つあった解が重なって潰れる特異点、そして手先の向きまで指定したときに届く範囲がどれだけ狭まるかを、動かせる図で追いかけます。

関節角と手先位置の対応そのものを順を追って見たい場合は、（1）平面2リンクの順運動・逆運動からどうぞ。以下では、そこで扱った2R・3Rの記号（θ₁, θ₂, θ₃ と向き φ）と、肘上／肘下という2つの姿勢をそのまま使います。

作業領域（図1）

運動学の原理

平面2Rの手先が届ける場所は、基点を中心とした円環（リング）になります。外側の縁は腕を一直線に伸ばしきったときで、半径は L₁+L₂ です。内側の縁は第2リンクを折り返して第1リンクに重ねたときで、半径は |L₁−L₂| になります。基点からの距離 r がこの2つの間にあれば届き、外れていれば届きません。

ここで効いてくるのが2本のリンクの長さの差です。L₁ と L₂ が等しければ内半径は 0 になり、リングの穴が消えて中心まで塗りつぶされた円盤になります。長さが違うほど中心付近に届かない穴が広がり、基点の真上にある物を掴めない、という事態が起こります。届く範囲の形は、制御則ではなくリンクの寸法だけで決まってしまう、というのがこの図の要点です。

本記事の図では

L₁ と L₂ をスライダで変えられます。長さを動かすと、リングの外縁と内縁が同時に描き直され、届かない領域が斜線で塗られます。緑の矢印はアーム → 方眼の向きです。到達領域を決めているのはリンクの寸法のほうであって、手先をどこへ置きたいかではないからです。

定義	平面2R。スライダで L₁, L₂ を変更（既定は L₁=1, L₂=0.6 で内側の穴が見える設定）。灰破線＝最大リーチ、橙破線＝最小リーチ。
色	灰＝基点、橙＝肘、青＝手先。水色は軌跡（「軌跡」オン時）。斜線のハッチが届かない領域です。
右の読み取り	到達リングと手先の (x, y)。リングの外や内側の穴へは押し戻されます。
操作	L₁/L₂ スライダ、手先ドラッグ、肘上／肘下、「軌跡」オン／オフ（既定はオフ）。
やっていないこと	障害物、関節の可動域制限、動力学。ここでのリングは幾何だけで決まる到達可能集合です。

特異点付近（図2）

運動学の原理

リングの縁の近くでは、届くか届かないかとは別の問題が起こります。平面2Rでは、関節の動きが手先の動きにどう伝わるかを表す行列（ヤコビ行列）の行列式が L₁L₂ sin θ₂ に比例します。腕が伸びきる（θ₂ が 0 に近い）ときや、折りたたまれる（θ₂ が ±180° に近い）ときは |sin θ₂| が小さくなり、この値が 0 に近づきます。

この状態が特異点付近です。直感的には、手先をほんの少し動かしたいだけなのに関節を大きく速く回さなければならなくなる領域、と捉えてください。腕を伸ばしきった姿勢から、さらに真っ直ぐ外へ手先を出そうとしても伸びしろがなく、逆に横方向へはわずかに動かすだけで関節が忙しくなる、という状況です。実機では、この付近で速度指令が跳ね上がったり、経路が破綻したりします。

本記事の図では

指標として |sin θ₂| だけを表示します。これは操りやすさ（可操作性）の単純な代理であって、ヤコビ行列そのものを数値で評価しているわけではありません。値が小さくなると手先が赤くなり、半径方向に破線が引かれます。手先を外円のほうへドラッグして、赤くなる場所を探してみてください。

定義	L₁=L₂=1。指標は |sin θ₂|（可操作性の単純な代理）。
操作	手先を外へ／内へドラッグ。肘上／肘下、「軌跡」オン／オフ（既定はオフ）。
やっていないこと	ヤコビ行列全体の数値プロットや、速度指令のシミュレーション。

解の枝の合流（図3）

運動学の原理

同じ手先位置に対して肘上と肘下の2つの姿勢がある、という話を別の角度から見ます。手先を外側の円へ近づけていくと、θ₂ が 0 に向かうため、肘上のときの肘の位置と肘下のときの肘の位置がだんだん寄っていきます。円周上でちょうど重なり、2つあった解が1つに合流します。

これは図2で見た |sin θ₂| が小さくなる状況と同じことを、解の個数の側から言い換えたものです。特異点とは、姿勢が窮屈になる場所であると同時に、選べる姿勢が減る境界でもあります。逆に言えば、リングの内側でじゅうぶんな余裕がある間は、どちらの姿勢を使うかを自由に選べます。

本記事の図では

2つの解を同時に描きます。実線が現在選んでいる枝、破線がもう一方です。2つの肘の間の距離と |Δθ₂| を数値で出しているので、外円へ近づけるにつれてこれらが小さくなっていく様子を追ってください。なお、この図は2つの姿勢を並べて見せるだけで、走行中に一方の枝から他方へ乗り換える軌道は扱っていません。

定義	平面2R、L₁=L₂=1。同一の (x, y) に対する肘上・肘下を同時に表示。
色	実線＝選択中の枝、破線＝もう一方。右図の橙と灰が両方の肘です。
操作	手先のドラッグ、肘上／肘下、「軌跡」オン／オフ（既定はオフ）。
やっていないこと	連続的に枝を乗り換える軌道の生成や、6軸で複数解を列挙する処理。

3Rでも同じ合流（図4）

運動学の原理

リンクを1本足した3Rでも、同じ合流が起こります。（1）で見たとおり、向き φ を固定すると手首の位置が確定し、残りはリンク1–2による2Rの逆運動に落ちます。つまり枝が2つに分かれる構造はそのまま残り、その2Rの部分が伸びきったとき、すなわち手首が基点から最も遠くなったときに合流します。

違うのは、手首の位置を自分で動かせることです。向きハンドルで φ を変えると手首が移動するので、手先を動かさなくても、合流に近い状態と余裕のある状態を行き来できます。軸が増えても特異の構造が消えるわけではなく、どの部分機構が伸びきっているかを見る話に変わる、と捉えてください。

本記事の図では

図3と同じく実線と破線で2つの枝を描きますが、分岐しているのはリンク1–2の部分です。向きハンドルを回して φ を変え、手首が伸びきる向きを探すと、2本の線が重なっていきます。この「向きを変えると姿勢の余裕が変わる」という感覚が、次の図5につながります。

定義	平面3R、L₁=L₂=L₃=2/3。分岐するのはリンク1–2（手首を経由した2R）の部分。φ は向きハンドルで可変。
操作	向きハンドルで φ、手先や関節のドラッグ、「軌跡」オン／オフ。
やっていないこと	冗長な解を連続的に選び続ける処理、6軸のロールなどの姿勢。

向き付きの届く範囲（図5）

運動学の原理

最後に、位置だけでなく向きまで指定したときに、届く範囲がどう変わるかを見ます。3本のリンクがすべて同じ長さ L の3Rでは、向きを問わなければ半径 3L の円盤の中どこへでも手先を置けます。ところが向き φ を課すと、手首は手先から φ と逆向きに L だけ戻った点に固定され、その手首がリンク1–2で届く範囲、つまり半径 2L の中に収まっていなければなりません。

結果として、手先が置ける場所は、φ の向きへ L だけずれた点を中心とする半径 2L の円に狭まります。半径 3L の円盤よりひと回り小さく、しかも φ を変えると中心のほうが回っていきます。同じ座標でも、ある向きでなら届き、別の向きでは届かない、ということが起こるわけです。位置と向きをどちらも満たせる範囲がどれだけ残るかという問題は、器用さ（dexterity）と呼ばれる話の入口にあたります。

本記事の図では

2つの円を重ねて描きます。灰の破線が向きを問わない場合の外周、青い円が φ を指定したときに届く範囲、その差が琥珀色の帯です。φ スライダや向きハンドルを動かすと、青い円の中心が基点のまわりを回り、琥珀色の帯の位置が入れ替わります。帯の中は「位置としては届くのに、その向きでは届かない」場所です。

定義	平面3R、L₁=L₂=L₃=2/3。位置のみの到達円と、φ を指定したときの到達円を対比します。
操作	向きハンドル、青円の中心、φ スライダ。手先や関節のドラッグ、「軌跡」オン／オフ。
やっていないこと	連続的な冗長軌道の選択、関節の可動域制限、6軸のフルな姿勢。

産業用6軸への拡張

運動学の原理

ここまで平面で見てきたことは、空間の6軸アームでもそのまま形を変えて現れます。順運動と逆運動という向きの区別、届く場所が幾何で決まる集合になること、特異点付近で解が潰れたり増えたりする境界があること、そして向きを課すと届く範囲が狭まること。この4点は軸数によらない骨格です。

本記事では

6軸の動く図は置いていません。平面の図と同じ操作感で扱える規模ではないためです。実際の6軸アームで増えるのは、次のようなことです。

• 姿勢の自由度 … 平面では向きが φ ひとつでしたが、空間では3つの回転が絡みます。
• 複数解の連続選択 … 肘上／肘下にあたる分岐が何通りも生じ、動作の途中で切り替わらないよう選び続ける必要があります。
• 関節の可動域制限 … 計算上は解けても、その角度まで回せないことがあります。
• キャリブレーション … 設計寸法と実機の寸法のずれが、そのまま手先の誤差になります。

これらが加わっても、読み方の順序は変わりません。まず届くかどうかを幾何で確かめ、次にその姿勢に余裕があるかを見て、最後に向きの要求を満たせるかを確認する、という順です。

まとめ

平面2Rが届く範囲は、外半径 L₁+L₂、内半径 |L₁−L₂| のリングでした。制御の巧拙ではなくリンクの寸法だけで決まるので、中心付近の穴を消したければ2本の長さを揃えるしかありません。そのリングの縁の近くでは |sin θ₂| が小さくなり、手先をわずかに動かすために関節を大きく回す必要が出てきます。

同じ場所を、解の個数の側から見たのが枝の合流です。肘上と肘下という2つの姿勢は、外円へ近づくにつれて互いに寄っていき、円周上で1つに重なります。3Rでも、向き φ を固定すれば手首を経由した2Rの問題に落ちるので、同じ合流が起こります。さらに φ を課すと、手先が置ける場所は半径 3L の円盤から、φ の向きへずれた半径 2L の円へと狭まります。

届く範囲、姿勢の余裕、向きの要求という3つの見方は、軸数が増えても順序が変わりません。関節角と手先位置の対応そのものについては、（1）平面2リンクの順運動・逆運動で扱っています。

よくある質問

Q1. 作業領域の内側に穴が空くのは、どういうときですか？

A. 2本のリンクの長さが違うときです。内半径は |L₁−L₂| なので、長さが等しければ 0 になって穴は消えます。図1のスライダで L₂ を L₁ から離していくと、中心付近の届かない領域が広がっていく様子を確認できます。

Q2. 特異点は避けるべきものなのですか？

A. 通したい経路によります。特異点そのものに解が無いわけではなく、その付近で手先の微小な移動に対して関節の動きが大きくなりやすい、という性質があります。腕を伸ばしきった姿勢は剛性の面で有利な場合もあるため、一律に悪いわけではありません。この図が示しているのは、そこが「解の余裕が少ない場所」だという幾何の事実までです。

Q3. |sin θ₂| はヤコビ行列の代わりになりますか？

A. 平面2Rに限った簡略な代理指標です。この機構では行列式が L₁L₂ sin θ₂ に比例するため、|sin θ₂| だけで特異への近さを見られます。一般の機構ではこのように単純化できず、特異値などを計算する必要があります。この図はヤコビ行列そのものを数値で評価してはいません。

Q4. 向きを指定すると届く範囲が狭まるのに、なぜ向きを指定するのですか？

A. 作業のほうが向きを要求するからです。部品を決まった姿勢で挿し込む、工具を面に垂直に当てるといった場合、位置だけ合っていても仕事になりません。図5の琥珀色の帯は、その要求のために手放した範囲を可視化したものです。

Q5. この図で分かることは、6軸のロボットにも当てはまりますか？

A. 考え方の骨格は共通ですが、この図は平面の簡略モデルであり、6軸の動きを再現したものではありません。届く範囲が幾何で決まること、特異付近で解の余裕が減ること、向きを課すと範囲が狭まることは6軸でも成り立ちます。一方で、空間での姿勢の扱い、関節の可動域制限、複数解の選び方などはこの図には含まれていません。