Que formato tem a região que um braço robótico consegue alcançar, e o que acontece na sua borda? Esta página persegue três respostas com diagramas que você pode arrastar: a região que um braço planar realmente alcança, as singularidades onde as suas duas soluções se juntam e desmoronam, e quanto dessa região sobrevive quando você exige também para onde a mão deve olhar.
Se quiser a correspondência entre ângulos das juntas e posição da ponta desde o começo, comece pela parte 1: o braço planar de dois elos. Tudo o que vem abaixo reaproveita a notação de lá — θ₁, θ₂, θ₃ para as juntas e φ para a orientação da ponta — junto com o par de posturas cotovelo cima e cotovelo baixo.
O espaço de trabalho (figura 1)
Como funciona a cinemática
Os lugares onde um 2R planar pode pôr a sua ponta formam um anel em torno da base. A borda externa é o braço esticado em linha reta, a um raio de L₁+L₂. A borda interna é o segundo elo dobrado por completo sobre o primeiro, a um raio de |L₁−L₂|. Se a distância r desde a base cair entre as duas, o ponto é alcançável; se não, não é.
O que manda aqui é a diferença entre os dois comprimentos. Faça L₁ e L₂ iguais e o raio interno vira 0: o buraco se fecha e o anel se preenche num disco maciço. Faça-os mais desiguais e o buraco inalcançável no centro cresce, a ponto de o braço não conseguir pegar algo pousado bem acima da sua própria base. O que esta figura mostra é que o formato da região alcançável é decidido pelas dimensões dos elos, e não por nada que o controlador faça.
Na figura desta página
L₁ e L₂ estão em cursores. Mova qualquer um dos dois e as duas bordas do anel se redesenham juntas, com a zona inalcançável preenchida de hachura. A seta verde vai do braço para a grade, porque o que fixa a região alcançável são as dimensões do braço e não onde você gostaria de pôr a ponta.
| Configuração | 2R planar com L₁ e L₂ em cursores; começam em L₁=1, L₂=0,6 para que o buraco interno apareça. A tracejada cinza é o alcance máximo; a âmbar, o mínimo. |
|---|---|
| Cores | Cinza é a base, âmbar o cotovelo, azul a ponta. O azul-claro é a trilha, visível com a Trilha ligada. A zona hachurada é o que o braço não alcança. |
| Leitura à direita | O anel alcançável e o (x, y) da ponta. Se arrastar para fora do anel ou para dentro do buraco interno, a ponta volta empurrada. |
| Controles | Os cursores L₁ e L₂, arrastar a ponta, Cotovelo cima e Cotovelo baixo, e a Trilha; a trilha começa desligada. |
| O que fica de fora | Obstáculos, limites de junta e dinâmica. O anel aqui é o conjunto alcançável como pura geometria. |
Perto de uma singularidade (figura 2)
Como funciona a cinemática
Perto da borda do anel aparece um segundo problema, que nada tem a ver com um ponto ser alcançável ou não. A matriz que descreve como o movimento das juntas vira movimento da ponta — a jacobiana — tem, para um 2R planar, determinante proporcional a L₁L₂ sin θ₂. Quando o braço está quase reto (θ₂ perto de 0) ou quase dobrado sobre si mesmo (θ₂ perto de ±180°), |sin θ₂| é pequeno e esse determinante se aproxima de zero.
Essa é a vizinhança de uma singularidade. A intuição a guardar: é a região onde empurrar a ponta por uma distância pequena exige um giro grande e rápido das juntas. De uma postura totalmente esticada não sobra nada a estender para fora, enquanto um pequeno movimento lateral de repente deixa as juntas muito ocupadas. Em equipamento real, é aqui que as velocidades comandadas disparam e uma trajetória planejada se desfaz.
Na figura desta página
O único indicador mostrado é |sin θ₂|. É um substituto grosseiro da manipulabilidade, não uma avaliação da jacobiana em si. Conforme o valor cai, a ponta fica vermelha e uma linha tracejada é traçada ao longo do raio. Arraste a ponta em direção ao círculo externo e vá atrás do vermelho.
| Configuração | L₁=L₂=1. O indicador é |sin θ₂|, um substituto simples da manipulabilidade. |
|---|---|
| Controles | Arraste a ponta para fora ou para dentro. Cotovelo cima e Cotovelo baixo, e a Trilha; a trilha começa desligada. |
| O que fica de fora | Nenhum traçado numérico da jacobiana completa, nem simulação alguma de velocidades comandadas. |
Onde os dois ramos se fundem (figura 3)
Como funciona a cinemática
Aqui está o mesmo terreno abordado pelo outro lado: o fato de que uma posição da ponta admite duas posturas, cotovelo cima e cotovelo baixo. Mova a ponta em direção ao círculo externo e θ₂ ruma a 0, o que aproxima continuamente as duas posições possíveis do cotovelo. Sobre o próprio círculo elas coincidem, e as duas soluções se fundiram numa só.
Isto é o que o |sin θ₂| decrescente da figura 2 se torna quando se contam soluções em vez de medir. Uma singularidade é ao mesmo tempo um lugar onde falta folga à postura e uma fronteira onde a escolha de postura desaparece. Lido ao contrário: enquanto houver uma folga confortável dentro do anel, qualquer das duas posturas está à sua disposição.
Na figura desta página
As duas soluções são desenhadas juntas: a contínua é o ramo selecionado no momento e a tracejada, a alternativa. A distância entre os dois cotovelos e |Δθ₂| são dadas em números, então dá para ver as duas encolherem conforme a ponta se aproxima do círculo externo. Atenção: a figura só mostra as duas posturas lado a lado; ela não trata uma trajetória que mude de ramo no meio do movimento.
| Configuração | 2R planar com L₁=L₂=1, mostrando cotovelo cima e cotovelo baixo para um mesmo (x, y). |
|---|---|
| Cores | A contínua é o ramo selecionado; a tracejada, o outro. À direita, os pontos âmbar e cinza são os dois cotovelos. |
| Controles | Arrastar a ponta, Cotovelo cima e Cotovelo baixo, e a Trilha; a trilha começa desligada. |
| O que fica de fora | Gerar uma trajetória que troque de ramo de forma contínua, e enumerar as muitas soluções de um braço de seis eixos. |
A mesma fusão com três elos (figura 4)
Como funciona a cinemática
Acrescente o terceiro elo e a mesma fusão acontece. Como mostrou a parte 1, fixar a orientação φ fixa o punho, e o que resta é um problema inverso 2R nos elos 1 e 2. A estrutura de dois ramos sobrevive, portanto, intacta, e os ramos se fundem quando esse 2R interno se endireita — isto é, quando o punho está o mais longe da base que pode estar.
O que há de novo é que você mesmo pode mover o punho. Girar a alça de orientação muda φ e leva o punho consigo, então dá para ir de um estado quase fundido a um estado confortável sem tocar na ponta. Mais eixos não fazem a estrutura singular desaparecer; transformam-na na pergunta de qual submecanismo está esticado num dado instante.
Na figura desta página
Como na figura 3, os dois ramos são a contínua e a tracejada, mas o que se ramifica agora é a parte dos elos 1–2. Gire a alça de orientação para mudar φ, procure a direção que endireita o punho e veja as duas linhas se juntarem. Essa sensação — mudar a orientação muda a folga que a postura tem — é o assunto da figura 5.
| Configuração | 3R planar com L₁=L₂=L₃=2/3. A ramificação acontece nos elos 1–2, o 2R alcançado pelo punho. φ é definido pela alça de orientação. |
|---|---|
| Controles | A alça de orientação para φ, arrastar a ponta ou as juntas, e a Trilha. |
| O que fica de fora | Escolher de forma coerente entre soluções redundantes enquanto o braço se move, e posturas como o giro de um punho de seis eixos. |
O alcance depois de fixada a orientação (figura 5)
Como funciona a cinemática
Por fim, o que acontece com a região alcançável quando você especifica não só onde a ponta vai, mas para onde ela olha. Num 3R cujos três elos medem todos L, e sem restrição de orientação, a ponta pode ficar em qualquer ponto de um disco de raio 3L. Imponha, em vez disso, uma orientação φ e o punho fica cravado no ponto que está um comprimento L atrás da ponta, no sentido oposto a φ — e esse punho precisa cair ao alcance dos elos 1 e 2, dentro de um raio de 2L.
Assim, o conjunto de lugares onde a ponta pode ir encolhe para um círculo de raio 2L, centrado no ponto deslocado L desde a base na direção φ. É menor que o disco de raio 3L e, conforme φ muda, o seu centro gira em volta. A consequência é que uma mesma coordenada pode ser alcançável sob uma orientação e inalcançável sob outra. Quanta folga resta quando é preciso satisfazer posição e orientação ao mesmo tempo é a porta de entrada do que se chama destreza.
Na figura desta página
Dois círculos são desenhados sobrepostos. O cinza tracejado é o limite externo com a orientação livre, o azul é o que é alcançável no φ escolhido, e a faixa âmbar é a diferença. Mova o cursor φ ou a alça de orientação e o centro do círculo azul dá a volta pela base levando a faixa âmbar consigo. Dentro dessa faixa estão os pontos que o braço poderia alcançar como posição, mas não olhando naquela direção.
| Configuração | 3R planar com L₁=L₂=L₃=2/3, contrastando o alcance com a orientação livre e o alcance num φ escolhido. |
|---|---|
| Controles | A alça de orientação, o centro do círculo azul e o cursor φ; também arrastar a ponta ou as juntas, e a Trilha. |
| O que fica de fora | A seleção contínua entre trajetórias redundantes, os limites de junta e a orientação completa de um braço de seis eixos. |
Onde entram os braços industriais de seis eixos
Como funciona a cinemática
Tudo o que veio acima aconteceu num plano, mas reaparece inteiro, sob outra forma, num braço de seis eixos no espaço. A distinção entre o sentido direto e o inverso; a região alcançável como um conjunto decidido pela geometria; as fronteiras perto de uma singularidade onde as soluções desmoronam ou se multiplicam; o estreitamento que uma orientação imposta traz. Esses quatro são o esqueleto, e o número de eixos não os muda.
Nesta série
Não há figura interativa de seis eixos, porque não é algo que se manipule com a mesma sensação de um diagrama plano. O que um braço real de seis eixos acrescenta se parece mais com isto:
- Graus de liberdade na orientação — no plano, a orientação era a única grandeza φ; no espaço, três rotações entram em jogo ao mesmo tempo.
- Escolher entre soluções, continuamente — a bifurcação cotovelo cima e cotovelo baixo vira muitas bifurcações, e o controlador precisa seguir escolhendo para que o braço não pule de ramo no meio do movimento.
- Limites de junta — um ângulo que a aritmética aceita pode ser um ângulo até o qual a máquina não consegue girar fisicamente.
- Calibração — cada discrepância entre as dimensões de projeto e as construídas sai como erro na mão.
Mesmo com tudo isso acrescentado, a ordem em que se lê o problema não muda: primeiro conferir pela geometria se o ponto é sequer alcançável, depois ver se a postura tem alguma folga com que trabalhar, e só então perguntar se a orientação exigida pode ser cumprida.
Resumo
A região que um 2R planar alcança é um anel de raio externo L₁+L₂ e raio interno |L₁−L₂|. É fixada pelas dimensões dos elos e não por alguma habilidade de controle, então o único jeito de fechar o buraco central é igualar os dois comprimentos. Perto da borda desse anel, |sin θ₂| fica pequeno e mover a ponta um pouco começa a exigir grandes giros das juntas.
Contar soluções descreve o mesmo lugar de outro jeito. As posturas cotovelo cima e cotovelo baixo se aproximam conforme a ponta chega ao círculo externo, e sobre o círculo viram uma só. Um 3R se comporta igual: fixe a orientação φ e o problema desce a um 2R alcançado pelo punho, então a mesma fusão acontece. Imponha φ além disso e os lugares onde a ponta pode ir encolhem de um disco de raio 3L para um círculo de raio 2L, deslocado na direção φ.
Alcançabilidade, folga na postura e exigência de orientação são três coisas a olhar nessa ordem, e acrescentar eixos não as reordena. Para a correspondência entre ângulos das juntas e posição da ponta em si, veja a parte 1: o braço planar de dois elos.
Perguntas frequentes
Q1. Quando o espaço de trabalho fica com um buraco no centro?
R. Quando os dois elos têm comprimentos diferentes. O raio interno é |L₁−L₂|, então comprimentos iguais dão 0 e o buraco some. Pegue o cursor de L₂ na figura 1 e afaste-o de L₁: você verá a zona inalcançável crescer em volta do centro.
Q2. É preciso evitar as singularidades?
R. Depende da trajetória que você quer seguir. Não é que uma singularidade não tenha solução; a propriedade é que perto de uma, um pequeno movimento da ponta tende a exigir um grande movimento nas juntas. Uma postura totalmente esticada também pode ser a mais rígida e favorável, então elas não são ruins de modo uniforme. O que esta figura mostra é o fato geométrico de que ali sobra pouca folga, e nada além disso.
Q3. |sin θ₂| pode substituir a jacobiana?
R. Só como atalho, e só para um 2R planar. Neste mecanismo específico o determinante é proporcional a L₁L₂ sin θ₂, de modo que |sin θ₂| sozinho acompanha o quão perto está uma singularidade. Um mecanismo geral não se simplifica assim e precisa que os seus valores singulares sejam calculados como manda o figurino. Esta figura não avalia a jacobiana numericamente de forma alguma.
Q4. Se fixar uma orientação custa alcance, por que fixar uma?
R. Porque a tarefa exige. Inserir uma peça numa dada atitude, ou manter uma ferramenta perpendicular a uma superfície, não se consegue acertando só a posição. A faixa âmbar da figura 5 torna visível exatamente o que foi cedido para cumprir essa exigência.
Q5. O que estas figuras mostram vale para um robô de seis eixos?
R. O esqueleto do raciocínio se transporta, mas estes são modelos planos simplificados e não reproduzem o movimento de seis eixos. Que o alcance seja decidido pela geometria, que a folga encolha perto de uma singularidade e que uma orientação imposta estreite a região valem também para seis eixos. Tratar a orientação em três dimensões, os limites de junta e como escolher entre muitas soluções não estão nestas figuras.
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